П.7. Непрерывность функции, точки разрыва

Функция называется непрерывной в точке х ₀, если:

1) ООФ вместе с некоторой своей окрестностью;

2) существует конечный предел ;

3) этот предел совпадает со значением функции в точке х ₀, т.е

. (9)

Все элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.

Если функция не является непрерывной в точке х ₀, но она определена в окрестности этой точки (за исключением, быть может, самой точки х ₀), то х ₀ называется точкой разрыва функции.

Для определения вида разрыва в точке х ₀ находят односторонние пределы и . При этом

если существуют односторонние пределы , но , то говорят, что функция терпит в точке х ₀ разрыв типа выколотой точки;

если существуют односторонние пределы и

, но , то не существует; в этом случае говорят,

что функция терпит в точке х ₀ разрыв типа«скачок»;

если левосторонний либо правосторонний (или оба) пределы функции

при х ₀ бесконечные, то говорят, что функция терпит в точке х ₀ бесконечный разрыв.

Разрывы типа выколотой точки и типа «скачок» относятся к конечным разрывам, или разрывам I рода, бесконечные разрывы относятся к разрывам II рода.

Примеры.

1) Функция непрерывна в силу непрерывности функций y = – х и y = 2 х. В точке х = 0 функция также непрерывна, т.к.

.

Следовательно, функция непрерывна для всех (рис. 9).

2) Функция непрерывна в силу непрерывности функций y = 2 + х и y = 3. В точке х = 0 функция терпит разрыв типа«скачок» (рис. 10), т.к. , следовательно, не существует.

3) Функция y = tg x непрерывна во всех точках своей ООФ, т.е. для

. В точках функция терпит разрывы II рода (рис. 11), т.к. .