2015-02-27
272
Рассмотрим множество функций 
на вещественной оси. Пусть 
, причем функции 
образуют ортонормированную систему. Это означает, что
(2)
Такую функцию назовем шкалирующей. Например, любая функция, имеющая носитель внутри единичного интервала и норму равную 1, удовлетворяет условию (2). Обозначим через 
Предложение. Имеет место формула
(3).
Обратно, из (3) следует (2)
Доказательство. Имеем 
. Поскольку преобразование Фурье является ортогональным преобразованием, 
. С учетом (2) это означает, что 
. Далее, пусть 
. Преобразование Фурье этой функции есть 
. Теперь 
, так как остальные слагаемы равны нулю в силу (2). Заменим сумму интегралом и продолжим равенство 
. Заменим преобразование Фурье от произведения сверткой их образов. Преобразование от первого сомножителя есть он сам. Таким образом, равенство продолжается 
. Обратное утверждение доказывается переписыванием формул в обратном порядке.
Важным примером материнской функции является функция, равная 1 на интервале 
и 0 в остальных точках. Такую функцию обозначим через 
.
|
|
|
Задача. Найти явный вид формулы (2) для функции .
