Основные понятия. Под множествомобычно понимают некоторый набор (совокупность) элементов произвольной природы

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ

Под множеством обычно понимают некоторый набор (совокупность) элементов произвольной природы. Например, совокупность короткозамкнутых асинхронных двигателей серии 4A, набор сопротивлений и т.д. Множества вещественных, натуральных и целых чисел являются примером числовых множеств.

Каждый из таких элементов в отдельности есть элемент множества. Фразу «е является элементом множества Е» («е принадлежит множеству Е») записывают, кратко в виде е Î Е. Если е не принадлежит множеству Е, то пишут е Ï Е.

Пусть a, b, c … – элементы множества E. Используя фигурные или круглые скобки можно записать

E = { a, b, c,...} = (a, b, c,...).

Если элементы множества E суть все целые числа от k до l (k < l), то для обозначения e можно использовать более простую запись:

e = { k, k +1,..., l –1, l } = k: l.

Например, множество натуральных чисел от 1 до n можно записать так:

{1, 2,..., n } = 1: n.

Элементы множества могут быть пронумерованы или каждому элементу множества может быть прописан некоторый индекс, причем так, что все элементы имеют разные индексы. Например, E = { e ₁, e ₂,..., e_n }. Используя обозначение 1: n, множество E запишем в виде:

E = e [1: n ],

где e_i = e [ i ] – элемент множества E.

Если множество E состоит из элементов e, обладающих определенным свойством P (e), то пишут E = { e ç P (e)}.Например (0, 1] = { e ç0< x £1}. Для указания множества E ₁, элементы e которого принадлежат E ₂ и, кроме того, обладают свойством P (e), используют обозначение:

E ₁ = { e Î E ₂ç P (e)}.

Множество можно изобразить кругом Эйлера – считать его множеством точек, ограниченных окружностью: на рис. 2.1 показано включение e Î E.

Рис. 2.1. Включение е в E Рис. 2.2. Включение подмножества

Ē в множество Е

Множество Ē представляет собой некоторое подмножество множества E (Ē Í E), если каждый элемент e, принадлежащий Ē, одновременно принадлежит и E. (рис. 2.2). В случае, когда Ē не содержит ни одного элемента (т.е. является пустым множеством, Ē = Ø), оно может рассматриваться как подмножество любого множества. Ē является истинным или собственным подмножеством E при условиях Ē ¹ Ø, Ē ¹ E (обозначается Ē Ì E).

Знаки «Ì», «Í» называют знаками включения (соответственно строго и не строго) одного множества в другое. Равенство E ₁ = E ₂ имеет место тогда и только тогда, когда одновременно E ₁Ì E ₂ и E ₂Ì E ₁, т.е. состоят из одних и тех же элементов.

Пересечение множеств E ₁ и E ₂ (E ₁Ç E ₂) есть множество всех элементов e, содержащихся в E ₁ и в E ₂ (рис. 2.3, а). Множества E ₁ и E ₂ являются непересекающимися, если E ₁Ç E ₂ = Ø. Например, множества малых и больших ЭВМ вычислительного центра.

Операция пересечения множеств обладает сведущими свойствами:

1⁰) E ₁Ç E ₂ = E ₂Ç E ₁,

2⁰) (E ₁Ç E ₂)Ç E ₃ = E ₁Ç(E ₂Ç E ₃),

3⁰) E ₁Ç E ₁= E ₁; E ₁Ç Ø = Ø,

где E ₁, E ₂, E ₃ – произвольные множества.

Объединение множеств E ₁ и E ₂ (E ₁È E ₂) есть множество всех элементов e, содержащихся либо в E ₁, либо в E ₂, либо и в E ₁ и в E ₂ (рис. 2.3, б), т.е. в объединении находятся элементы, принадлежащие E ₁, E ₂ и обоим множествам вместе. Операция объединения множеств обладает следующими свойствами:

1⁰) E ₁È E ₂ = E₂È E ₁,

2⁰) (E ₁È E ₂)È E ₃ = E₁È(E ₂È E ₃),

3⁰) E ₁È E ₁ = E ₁; E ₁È Ø = E ₁.

Разностью множеств E ₁ и E ₂ называют множество, состоящее из элементов, которые принадлежат множеству E ₁, но не принадлежат множеству E ₂ (E ₁\ E ₂) т.е. совокупность всех e Î E ₁, таких что e E ₂ (рис. 2.3, в).

Рис. 2.3. Пересечение (а), объединение (б), разность (в) множеств

Если E ₂ – одноэлементное множество, т.е. E ₂ = { e }, то E ₁\{ e } будем записывать и проще: E ₁– e. Число элементов во множестве E ₁ (обозначается | E ₁| = e) называется мощностью конечного множества. Для бесконечного множества E ₂ мощность считается равной бесконечности (| E ₂| = ∞).

Отношением, существующем на множестве E, называется форма связи между элементами или подмножествами этого множества. Отношения определяются словами («быть меньше, чем...», «обладать свойствами делимости на...», «быть одинаковым с...») или символами(«=», «<», «Ç»).

Важнейшую роль играет отношение «быть функцией». Говорят, что на множестве E задана функция f со значениями во множестве Э, если каждому элементу e Î E сопоставлен элемент эÎЭ (обозначается э= f (e)). Если при этом из e ₁ ¹ e ₂ следует f (e ₁) ¹ f (e ₂) и каждый эÎЭ является образом некоторого e Î E, то между E и Э существует взаимно однозначное соответствие. В случае, когда Э есть множество действительных чисел, т.е. чисел, используемых в практических расчетах и измерениях, то функция э= f (e) называется скалярной. Часто E является множеством каких- либо функцией, тогда э называют функционалом.

Два множества имеют одинаковую мощность тогда, когда можно установить взаимно однозначное соответствие между их элементами. Множество E является бесконечным, если оно имеет ту же мощность, что и хотя бы одно из его собственных подмножеств (в противном случае E конечно). Мощность конечного множества определяется числом его элементов.

Бесконечное множество E называют счетным, т.е. допускающим принципиальную возможность пересчитать его элементы, если устанавливается взаимно однозначное соответствие между элементами E и элементами множества натуральных чисел.

Числовое множество E называется упорядоченным, если любые два его элемента e₁, e₂ связаны либо отношением e₁ < e₂, либо отношением e₁ > e₂ (например, множество всех действительных чисел). В этих условиях ê называется верхней границей множества E, если ê ³ e для всех e Î E. Наименьшей из имеющихся ê называется точной верхней границей (супремум) sup E. Аналогично определяют нижнюю и точную нижнюю границу множеств (инфимум) inf E. Когда Ē < E неограниченно сверху sup Ē = ¥, снизу inf Ē = - ¥.

Пример: принципиально достижимое и реально достигнутое быстродействие ЭВМ при существующем уровне развития техники (второе оказывается точной границей).