Открытые, замкнутые, компактные множества

Множество вида

U _e(x ₀) = { x Î Eⁿ | ρ(x, x ₀) < e}

называют открытым шаром радиуса e с центром в точке x ₀Î Eⁿ или e- окрестностью точки x ₀ (рис 2.7, a). Аналогично определяется замкнутый шар Ū _e(x ₀) (рис. 2.7, б) как множество точек x Î Eⁿ, для которых ρ(x, x ₀) £ e, т.е.

Ū _e(x ₀) = { x Î Eⁿ | ρ (x, x ₀) £ e}.

Точку x Î E (E Ì Eⁿ) называют внутренней точкой множества E, если найдется такое e > 0, что U _e(x) < E, т.е. если точка x принадлежит множеству E вместе со своей некоторой окружностью (рис. 2.8, а). В этом случае, когда каждая точка множества E является внутренней, это множество называют открытым множеством, например, U _e(x ₀).

а б

U _e(x ₀) Ū _e(x ₀)

Рис. 2.7. Открытый (а) и замкнутый (б) шар

Точку пространства Eⁿ называют граничной точкой множества E Ì Eⁿ, если в ее окрестности любого радиуса e > 0 имеется хотя бы одна точка из E и хотя бы одна точка, не принадлежащая E (рис. 2.8, б). Совокупность граничных точек множества образует его границу. Множество, включающее свою границу, называют замкнутым множеством.

Изолированная точка x Î E имеет окрестность, в которую не входят никакие другие точки множества E кроме самой точки x (рис. 2.8, в). Множество, содержащее только изолированные точки, называют дискретным множеством, и оно обязательно бывает либо конечным, либо счетным.

Крайняя точка не может находиться на отрезке, соединяющем какие- либо две точки x ₁, x ₂ из E (рис. 2.8, г). Крайняя точка является одновременно и граничной, но обратное утверждение неверно.

Рис. 2.8. К понятию внутренняя (а), граничная (б), изолированная (в) и крайняя (г) точки

Окрестностью произвольной точки x ₀Î Eⁿ называется любое множество ОÌ Eⁿ, содержащее открытый шар U _e(x ₀), e > 0. Окрестность О является множеством всех таких x, расстояние которых от x ₀ меньше некоторой малой положительной величины d. В частности, О может быть задано неравенством

| x_{j -}- x _{о j} | < d,

где x_j – координаты x Î0; x _{0 j} – координаты x ₀ (j = 1: n); d – некоторое положительное число (рис. 2.9).

Рис. 2.9. К понятию окрестности

Любое подмножество Н множества Eⁿ является ограниченным, если оно содержится в каком либо замкнутом шаре Ū _e(x ₀). В этом случае диаметром множества Н называется точная верхняя граница расстояний между принадлежащими ему точками.

Замкнутое и ограниченное множество называют компактным множеством или компактом. Примеры компактов: конечное множество точек в Eⁿ; замкнутый шар, т.е. множества вида

{ x Î Eⁿ | ρ(x, x ₀) £ e}.

Гиперплоскость не является компактом, так как для нее не выполняется требование ограниченности.