2015-02-04
1338
Непустое подмножество M (Ē) пространства En называется (вещественным) линейным подпространством (рис. 2.4), если оно удовлетворяет следующим двум условиям:
1) Если вектора x и y принадлежат M, то x + y также принадлежит M.
2) Если произвольный вектор x принадлежит M, то l x при любом вещественном значении числа l также принадлежит M.
Из 2) видно, что если x Î M, то -x Î M. Тогда из 1) следует, что 0= x +(-x) также принадлежит M. Если мы осуществим смещение, определяемое фиксированным вектором x 0 всех векторов непустого подпространства M пространства En, то получим подмножество называемое линейным многообразием (аффинным подпространством) пространства En. Оно не является линейным пространством, так как оно не содержит 0. Прямая в En, проходящая через начало, является одномерным пространством пространства En. Если сместить эту прямую, то мы получим линейное многообразие. Одно и тоже линейное многообразие может быть получено в результате смещений пространства M различными векторами.
Рис. 2.4. Подпространство и линейное многообразие
Если максимальное число линейно независимых векторов, которые можно найти в M, равно r, то говорят, что M – r -мерное подпространство. Само пространство En можно рассмотреть как n – мерное пространство.
Гиперплоскостью в En называется множество точек x, удовлетворяющих уравнению
Нab = { x Î En |< a, x > = b }, (2.1)
где a Î En, представляет собой вектор-нормаль к гиперплоскости, a ¹ 0 n, b Î E.
Обычно приставку гипер употребляют для обозначения пространств, имеющих более чем три измерения. Гиперплоскость < a, x > = 0 содержит начало координат и является объединением всех прямых, которые проходят через начало координат и направляющие векторы которых ортогональны а, т.е. гиперплоскость есть множество точек, принадлежащим этим прямым
Гиперплоскость задает два замкнутых полупространства (рис. 2.5)
Н+ab = { x Î En |< a,x >³ b }, Н-ab = { x Î En |< a,x >£ b },
а также два открытых пространства
Н+ab = { x Î En |< a,x >> b }, Н+ab = { x Î En |< a,x > < b }.
Рис. 2.5. К понятию полупространств
Вектор a, называемый нормалью к гиперплоскости Нab, к ней ортогонален и направлен в сторону полупространства Н +ab (рис. 2.5). Гиперплоскость Нab и соответствующие полупространства могут быть записаны с помощью некоторой фиксированной точки 
Î Нab. При любом вещественном числе b уравнение < a,x > = b определяет линейное многообразие. Если задан некоторый вектор x 0Î En такой, что < a,x 0> = b, то линейное многообразие, определяемое уравнением < a,x > = b, можно рассматривать как смещение Нab на x 0
В качестве примера рассмотрим гиперплоскость Н = {(x 1, x 2, x 3, x 4) | x 1+ x 2- x 3+2 x 4 = 4}. Нормалью к ней является вектор a = (1,1,-1,2)Т. Эта же гиперплоскость может быть записана с помощью любой другой точки из Нab, например с помощью 
= (0,6,0,-1)Т. В этом случае Нab = {(x 1, x 2, x 3, x 4)| x 1+(x 2-6)- x 3+2(x 4+1) = 0}.
Любую гиперплоскость в En можно задать в виде множества решений уравнения (2.1), подобрав соответствующим образом вектор a и число b.
Любую прямую в En можно задать в виде
{ x Î En | x = a +l c, lÎ E } (2.2)
соответствующим образом, подобрав вектора a и c из En. Если в (2.2) число l ограничено сверху или снизу, то получаем луч. Если l ограничено сверху и снизу, то множество (2.2) задает отрезок.
Отрезком,соединяющим две данные точки x 1, x 2 в En называется множество таких точек, координаты xj которых связаны с координатами x 1 и x 2 соотношениями вида
{ xj Î En | xj = l xj 1+(1- l) xj 2, 0 £ l £1, j = 1: n }.
Конкретный выбор l определяет положение x на отрезке (при l = 1 точка x совпадает с x 1, при l = 0 – с x 2, при 0< l <1 располагается между ними). Отношение, в котором находятся рассматриваемые x 1, x 2, x можно определить равенством
x = l x 1+(1- l) x 2 (0 £ l £ 1).
Понятие «отрезок» тождественно понятию «замкнутый интервал» (рис 2.6).
Рис. 2.6. К понятию отрезок (замкнутый интервал)
