Вынужденные колебания. Резонанс

Для того чтобы возбудить в системе незату­хающие колебания, необходимо компенсировать потери энергии, обусловленные трением (сопротивлением). Такая компенсация может производиться внешними по отношению к колебательной системе источниками энергии. Простейшим случаем является воздействие на систему переменной внешней силы F(t). Под влиянием этой силы в системе возникнут колебания, происходящие в такт с изменением силы; эти колеба­ния называются вынужденными.

Дифференциальное уравнение вынуж­денных колебаний имеет вид (2):

(12).

Это уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением 2 порядка; его общее решение представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения есть решение уравнения колебаний с затуханием, рассмотренное ранее. Рассмотрим частное решение неоднородного уравнения: x =A ·cos(Ωt –φ) (13), описывающее установившиеся колебания с частотой Ω вынуждающей силы.

Величины амплитуды A и сдвига фазы φ по отношению к фазе вынуждающей силы зависят от соотношения между собственной частотой ω₀ системы и Ω, а также от затухания, действующе­го в системе:

; (14).

При некоторой частоте Ω₀вынуждающей силы амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума. Это явление называется резонан­сом (резонансом смещения). На рис. изображены резонансные кривые для трех значений коэффициента затухания β. Частота ω_рез = Ω₀ называется резонансной частотой. Ее значение можно найти, исследовав на минимум подкорен­ное выражение для A в формуле (14): (15).

Амплитуда при резонансе получается подстановкой Ω₀ в выражение для амплитуды:

(16).