При наличии силы трения (r ≠0) и отсутствии внешней периодической силы (F0 = 0) уравнение движения имеет вид: (8),
где β называется коэффициентом затухания колебаний. В случае слабого затухания (β – мало) решением такого дифференциального уравнения является функция: (9). В этом можно убедиться прямой подстановкой (9) в уравнение (8). – частота колебаний системы с затуханием. A=A0·e-βt – амплитуда затухающих колебаний.
Таким образом, амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону. Вместе с амплитудой убывает также и энергия колебаний W, т.к. W~A2.
Степень убывания амплитуды определяется коэффициентом затухания β. Время τ=1/β, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е=2.7183 раз, называют постоянной времени затухания колебаний.
Скорость уменьшения амплитуды за период характеризует величина θ, называемая логарифмическим декрементом затухания. По определению:
(10).
Скорость убывания энергии в системе с затуханием характеризует добротность Q:
|
|
(11),
где W – энергия, запасенная в системе, (– ΔW)– энергия, теряемая системой за период. Добротность показывает, во сколько раз энергия, запасенная в системе, больше энергии, теряемой за период. Добротность в (11) выражена через параметры системы и логарифмический декремент затухания θ, с учетом того, что W~A2.
В случае сильного затухания () колебательный процесс не развивается: система, выведенная из состояния равновесия и предоставленная самой себе, просто медленно возвращается к нему. Это т.н. апериодический процесс.