Линейных звеньев и систем автоматического регулирования

Как указывалось выше, исследование системы автоматического регулирования сводится к анализу решений дифференциального уравнения системы. Заметим, что в дальнейшем будем рассматривать только линейные САР. При решении дифференциального уравнения в теории автоматического регулирования применяют так называемое преобразование Лапласа, позволяющее упростить процесс этого решения.

В качестве примера рассмотрим линейную систему автоматического регулирования, которая подвергалась возмущающему входному воздействию, начиная с момента времени . При этом в системе возникает переходный процесс, описываемый линейным дифференциальным уравнением n -го порядка (поэтому систему автоматического регулирования называют линейной).

В левой части уравнения записываются выходные величины y и их производные, в правой – входные величины x и их производные.

.

Преобразование Лапласа позволяет свести дифференциальное уравнение к алгебраическому. Оно преобразует функцию вещественного переменного в функцию комплексного переменного , где .

Функция называется оригиналом, а – изображением по Лапласу этого оригинала.

Прямое преобразование Лапласа функции запишем:

.

Дифференциальное уравнение с помощью преобразования Лапласа представим в виде:

,

где – изображение функции .

Отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях называют передаточной функцией звена системы и записывают в виде:

,

где и – полиномы соответственно числителя и знаменателя.

Таким образом, если известно дифференциальное уравнение системы, то известна и её передаточная функция и, наоборот, при известном выражении для передаточной функции известно и дифференциальное уравнение системы.

Оперирование передаточными функциями динамических звеньев системы управления при её анализе очень удобно, поскольку позволяет в краткой математической форме представить взаимодействия звеньев и состояние всей системы в целом.

При анализе системы автоматического регулирования стараются расчленить её на элементы и представить их типовыми звеньями с известными передаточными функциями. Основные типовые звенья и их передаточные функции представлены в табл. 1.1.

Чтобы найти передаточную функцию всей системы, приходится оперировать с различными соединениями элементарных динамических звеньев, образующих структурную схему системы. Эти соединения бывают трёх типов: последовательные, параллельные и встречно-параллельные.

При последовательном соединении n звеньев (рис. 1.15) передаточная функция этого соединения равна произведению передаточных функций отдельных звеньев:

,

где – номер каждого звена.

Рис. 1.15. Последовательное соединение звеньев

Т а б л и ц а 1.1

Основные типовые звенья систем автоматического регулирования

№ п/п	Наименование звена	Уравнение звена	Переходная характеристика	Передаточная функция
	Безынерционное (пропорциональное)		t y
	Инерционное (апериодическое 1-го порядка)		t y
	Колебательное
	Интегрирующее
	Дифференцирующее
	Запаздывающее

При параллельном соединении n звеньев (рис. 1.16) передаточная функция равна сумме передаточных функций отдельных звеньев:

.

Рис. 1.16. Параллельное соединение звеньев

При встречно-параллельном (рис. 1.17) соединении (система с отрицательной обратной связью) передаточная функция равна отношению передаточной функции прямой цепи к передаточной функции всей системы в её разомкнутом состоянии , увеличенной на единицу:

,

где .

– передаточная функция обратной связи.

Рис. 1.17. Встречно-параллельное соединение звеньев:

а – точка разрыва обратной связи; ЭС – элемент сравнения, зачернённый сектор обозначает вычитание сигнала

Уравнение свободного движения разомкнутой системы регулирования можно получить, если приравнять нулю правую часть дифференциального уравнения ; в результате получим . Уравнение свободного движения замкнутой системы регулирования с отрицательной обратной связью записывается в виде:

.

На основании этого уравнения можно определить устойчивость САР, воспользовавшись одним из критериев устойчивости, приведённым в литературе. Определение же качества регулирования требует получения решения дифференциального уравнения в виде переходной характеристики регулирования.