Задачи №№21-40

Наиболее частым видом нагружения является изгиб. На изгиб работают большинство элементов кузова, рамы, передач и экипажной части подвижного состава. Прочность элемента, работающего на изгиб обеспечивается правильным подбором формы и размеров сечения.

Задачи №№ 21-40 следует решать после изучения темы 2.6 "Изгиб" по рекомендуемой литературе [2, гл. VII] и [3, гл. 6] и внимательного разбора примеров 10, 11.

Изгиб - это такой вид нагружения бруса, при котором в его поперечных сечениях возникают изгибающие моменты. В большинстве случаев одновременно с изгибающими моментами возникают и поперечные силы. Такой изгиб называют поперечным. Если поперечные силы не возникают, изгиб называют чистым.

Для нахождения опасного сечения строят эпюры Q и М_и.

Изгибающий момент М„ в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих на оставшуюся часть, относительно центра тяжести сечения:

Поперечная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме внешних сил, действующих на оставшуюся часть:

Правило знаков для поперечной силы

Внешние силы, поворачивающие оставшуюся часть балки относительно рассматриваемого сечения по ходу часовой стрелки, считаем положительными, а силы, поворачивающие оставшуюся часть балки относительно рассматриваемого сечения против часовой стрелки, считаем отрицательными (рис. 18а).

Правило знаков для изгибающих моментов.

Внешние моменты, изгибающие мысленно закрепленную в рассматриваемом сечении отсеченную часть бруса выпуклостью вниз, считаем положительными, а моменты, изгибающие отсеченную часть бруса выпуклостью вверх (рис. 18 б) - отрицательными.

Если балку выполняют постоянного по длине поперечного сечения, то ее размеры подбирают только для опасного сечения - сечения с максимальным изгибом по абсолютному значению изгибающим моментом.

Условие прочности для балок, работающих на изгиб имеет вид:

где Wx - осевой момент сопротивления сечения изгибу относительно оси, перпендикулярной плоскости действия М.

Пример 10

Для заданной консольной балки, изображенной

на рис. 19, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Подобрать сечение балки в виде двутавра, если [о]=160 МПа.

Решение

Разбиваем балку на участки. Границы участков целесообразно проводить через точки приложения сосредоточенных сил, моментов, начала и конца равномерно распределенной нагрузки.

Построение эпюр Q и М_и будем вести от свободного конца, чтобы не определять реакции опор. ■.

Для того чтобы вычислить поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечении, необходимо мысленно рассечь плоскостью в этом месте балку и правую часть балки отбросить. Затем по действующим на оставленную часть балки внешним силам надо найти искомые значения Q_y и М_х, причем знак их надо определить по тому действию, какое оказывают внешние силы на оставленную часть балки в соответствии с принятым ранее правилом знаков.

1. Построение эпюры поперечных сил.

Проводим сечение 1-1

Так как Q_I = f (Z₁) является уравнением прямой линии, для построения которой нужны 2 точки:

при z₁ = 0 Q_A = 0

при z₁ = 2 Q_B = - q · 5 = - 10Кн

Проводим базовую линию эпюры Q перпендикулярно к ней в выбранном масштабе откладываем ординаты, соответствующие значениям z₁ = 0 и z₁= 2 м.

Через 2 полученные точки проводим прямую линию, которая представляет эпюру Q на I участке.

Сечение 2-2

2 ≤ z₂ ≤ 3,5

Q_II = - q · 2 = - 5 · 2 = - 10Кн.

Так как поперечная сила в пределах второго участка является величиной постоянной, поэтому эпюра Q на участке II представляется прямой, параллельной базовой линии.

Сечение 3-3

3,5 ≤ z₃≤ 4

Q_III =-q·2-F = -5 · 2-30 = -40 кН.

Эпюра на участке III представляется также прямой параллельной базовой линии.

2. Построение эпюры изгибающих моментов

Сечение 1-1

0 ≤ z₁ ≤ 2

В это уравнение переменная величина z, входит в квадрате, поэтому зависимость M_и (z₁) графически изображается квадратной параболой.

Для построения параболы нужно как минимум три точки.

при z₁ = 0 М_А = 0

при z₁ = 1 м М_к = -2,5 кНм

при z₁ = 2 м М_Б = -10 кНм

Проводим базовую линию эпюры М и в выбранном масштабе откладываем ее ординаты, соответствующие значениям z₁=0; z₁=l м; z₁=2 м. Соединяем точки, получаем квадратную параболу, направленную выпуклостью навстречу нагрузке с вершиной в т. А.

В дальнейшем при построении эпюр изгибающих моментов полезно помнить, что квадратная парабола своей выпуклостью всегда обращена навстречу распределенной нагрузке.

Сечение 2-2

2 ≤ z₂ ≤ 3,5

M_ulII =-q·2· (z₃–1) +M–F·(z₃–3,5)= -10–z₃+10+35–30 · z₃=10,5= -40 · z₃+15

при z₃ = 3,5 M_c = 10 kHm

при z₃ = 4 М_D = -10 кHм

Эпюра изгибающих моментов на участке III представлена наклонной прямой.

Для проверки правильности построения эпюр необходимо помнить следующие правила:

1. На участке балки, где отсутствует распределенная нагрузка, эпюра Q - прямая, параллельная базовой линии, а эпюра М_и - наклонная прямая.

2. В точках, где приложена сосредоточенная сила на эпюре Q наблюдается скачок, численно равный приложенной внешней силе, а на эпюре М_и - излом.

3. В точке приложения сосредоточенного момента на эпюре моментов происходит скачок на размер момента приложенного в этой точке, а эпюра Q не претерпевает изменения.

4. На участке действия равномерно распределенной нагрузки эпюра Q выражается наклонной прямой, а эпюра М_и - параболой, обращенной выпуклостью навстречу
действию распределенной нагрузки.

5. Если на участке действия распределенной нагрузки эпюра пересекает базовую линию, то в этом сечении изгибающий момент принимает экстремальное значение.

6. Если на границе распределенной нагрузки не приложено сосредоточенных сил, то на эпюре Q участок, параллельный оси абсцисс, переходит в наклонный без скачка,
а параболическая и наклонная части эпюры М_и сопрягаются плавно без изгиба.

7. Изгибающий момент в концевых сечениях балки всегда равен нулю, за исключением случая, когда в концевом сечении действует сосредоточенная пара сил. В этом случае изгибающий момент в концевом сечении балки равен моменту действующей пары сил.

8. В сечении, соответствующем заделке, Q и М_и численно равны опорной реакции и реактивному моменту.

3. Подбираем номер профиля двутавра из условия прочности при изгибе, если [σ]_u=160 MПa.

отсюда

где W_x - осевой момент сопротивления сечения;

М_и_max - максимально изгибающий момент, т.е. наибольший по абсолютной величине, определяем непосредственно из эпюры М_и. Тогда

По значению W_x=156,3 см³ по табл. 16 сортамента подходит двутавровый профиль № 20, для которого W_x=184 см³.

Пример 11

Для балки (рис. 20) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, если сосредоточенные силы F₁=20 кН, F=35 кН, момент М=33 кНм. Подобрать сечение в виде сдвоенного швеллера [σ]=160 МПа.

Решение

В отличие от рассмотренной в предыдущем примере консольной балки расчет для балки опирающейся на две шарнирные опоры следует начать с определения опорных реакций, исходя из условия ее равновесия. Удобно это сделать, составив и решив уравнения: