Деформации и перемещения. Закон Гука при растяжении или сжатии. Потенциальная энергия упругой деформации

При растяжении-сжатии возникают линейные, продольные и поперечные деформации. Рассмотрим их более подробно (рисунок 3.1).

l ₀ и h ₀ – размеры стержня до деформации;

l _к и h _к – размеры стержня после деформации.

	растяжение	сжатие
	удлинение	укорочение
сужение	расширение

e и e¢ – величины безразмерные, но могут изменятся в у.е. и в процентах.

Отношение поперечной деформации к продольной характеризуется постоянной материала, которая называется коэффициентом поперечной деформации.

m еще называют коэффициентом Пуассона.

Для всех реальных материалов 0 £ m £ 0,5.

· пробковое дерево m = 0

· сталь m = 0,3!!!

· каучук m = 0,5

При помощи коэффициента Пуассона можно определить поперечную деформацию через продольную и наоборот.

(3.4)

Между продольной деформацией и нормальными напряжениями при растяжении-сжатии существует закон пропорциональности, называемый законом Гука.

Закон Гука при растяжении-сжатии:

Продольные деформации пропорционально изменяются с изменением нормального напряжения при растяжении-сжатии.

(3.5)^***

где E – модуль упругости первого рода (модуль Юнга).

Модуль упругости – это постоянная материала, численно равная нормальному напряжению, которое вызывает деформацию, равную единице.

(s_В(ст3) @ 400 МПа)

Самый прочный материал – бор (B) s_В = 5,7 ГПа

Самый пластичный материал – золото (Au) 1 грамм золота можно растянуть на длину в 2,4 км.

Е _чугун = 1,2×10⁵ МПа

Закон Гука (3.5) иногда применяется в таком виде:

s = e× Е

(3.5¢)^*

Гук предложил свой закон в 1660 году, но официально он появился в 1678 г.. Закон был записан в таком виде:

Ut tensio sic vis (лат.) – какова сила, таково перемещение.

Пользуясь законом Гука, получим зависимость для нахождения абсолютных деформаций при растяжении-сжатии:

Зависимость (3.7) называют «Дядя Леня»:

E × A характеризует жесткость сечения стержня при растяжении-сжатии.

(3.6) выражает закон Гука для абсолютной деформации при растяжении-сжатии.

Если необходимо найти полную деформацию ступенчатого стержня, необходимо определить сумму деформаций отдельных степеней стержня (рисунок 3.3).

Если стержень имеет переменное сечение по длине и к тому же нагружен переменной нагрузкой (например, собственным весом), то его полная деформация определяется в интегральной форме.

В некоторых случаях возникает необходимость в нахождении перемещений точек стержня по отношению к какому-либо сечению (например, к месту закрепления). В этом случае перемещение, представляющее собой изменение местоположения искомого сечения, найдется как абсолютная деформация участка бруса, заключенного между заданными сечениями (рисунок 3.5).