Применение нормального закона распределения для решения задач в строительстве

Пример 20.1. Среднее квадратичное отклонение размера длины партии стеновых панелей σ = 10 мм. Определить вероятность того, что случай­но взятая из партии панель:

1) отклонится от нормального (теоретического) размера на ±15 мм. По формуле (18.11) при = 15 мм, а = 0 получим (рис. 20.1):

2) будет иметь превышение над номиналом от 5 до 25 мм. По формуле (18.10) имеем (рис. 20.2):

Пример 20.2. Стальной трос имеет среднюю несущую способность =500 кН, при которой напряжение в материале достигает предела прочнос­ти. Изменчивость прочности материала, из которого сделан трос, оценивается среднеквадратичным отклонением σ = 20 кН. Определить вероятность разры­ва троса при нагрузке Q = 450 кН.

Имеем =500 кН, нижняя граница случайной величины

х _нг = 450 кН. Считая несущую способность троса случайной величиной, по формуле (19.3).

Найдем искомую вероятность (рис. 20.3).

Пример 20.3. Нормированный резервный запас цемента в бунке­рах непрерывно действующего бетоносмесительного отделения составляет 10 т. По мере расходования этот запас регулярно пополняется. Однако в силу неко­торых случайных причин среднеквадратичное отклонение запаса от среднего значения т. Определить вероятность того, что в данный момент времени запас цемента превышает 4 т или составляет

от 8 до 14 т.

Так как загрузка бункеров и расход цемента производятся малыми пор­циями и таким образом количество резервного цемента зависит от множества мелких случайных причин, можно предположить, что распределение количе­ственной характеристики замеса цемента будет близким к нормальному.

Имеем а = 10т, т, х _нг = 14 т, х₂ = 11 т, х₁ = 8 т, по формуле (19.3) найдем вероятность (рис. 20.4)

по формуле (18.10) найдем вероятность:

При определении Р₂ учтено, что Ф(-1) = -Ф(1).

Пример 20.4. Номинальный срок службы здания составляет 50 лет. Среднеквадратичное отклонение срока службы от номинального равно 10 го­дам. Определить вероятность того, что здание прослужит от 60 до 70 лет или менее 40 лет.

Имеем: а = 50 лет, х ₂ = 70 лет, х ₁ = 60 лет, х _нг = 40 лет.

По формуле (18.10) получим вероятность (рис. 20.5):

По формуле (18.10) получим вероятность:

Пример 20.5. Срок службы шиферной кровли распределен по нор­мальному закону с параметрами: а = 20 лет, года.

Определить: 1) вероятность безотказной работы в течение 15 лет, 20 лет; 2) 90 %-й ресурс.

Продолжительность безотказной работы с определенной обеспеченно­стью называется ресурсом.

Вероятность безотказной работы кровли как события противоположное выходу ее из строя, равно

(20.1)

По формуле (20.1) найдем вероятность безотказной работы кровли t течение 15 лет (рис.20.6):

Рис.20.1. К определению Рис. 20.2. К определению

вероятности Р_1. вероятности Р_2.

Рис. 20.3. К определению Рис. 20.4. К определению

вероятности Р(х≤450) вероятности Р₁ и Р₂ в примере 20.3

Рис.20.5. К определению Рис. 20.6. К определению

вероятностей срока службы Р₁ и Р₂ вероятности Р_1.

Аналогично определяется вероятность безотказной работы кровли в течение 22 лет:

2) 90 %-му ресурсу соответствует вероятность отказа

Q = 1 - 0,9 = 0,1.

Так как Q = 0,1 < 0,5, то квантиль отрицательный. Из таблицы ин­теграла вероятностей найдем, что значение

= 0,5 - Q = 0,4 соответствует квантилю = 1,28. Это значение квантиля со знаком минус подставляем в равенство (18.8):

(20.2)

где х — искомое значение ресурса с 90 %-и обеспеченностью.

Из (20.2) найдем (рис. 20.7), что х = 20-3х1,28 = 16,16 лет.

Рис. 20.7. К определению 90 %-го ресурса шиферной кровли.