Задание: Cоставить математическую модель промышленного паронагревателя марки ПН 34-16-4 и исследовать его при следующих условиях: возмущающее воздействие имеет вид
ΔGв(τ) = k1·τ, τ1,
k1·τ1, τ1;
варьируемые значения параметров – k1= (0,2; 0,5; 1,0); τ1= (1; 1,5; 2,7);
управляющее воздействие имеет вид
ΔGп(τ) = ),
варьируемые значения параметров - А=(0,5; 1,0; 1,25; 2,75; 5,5);
α= (0,1; 0,15; 0,2; 0,25).
Рассмотрим паронагреватель марки ПН 34-16-4, предназначенный для подогрева воды насыщенным паром. Его чуть упрощенная конструкция изображена на рис. 4.1, а технические характеристики – в следующей таблице:
Поверхность нагрева, м2 ……………………….. 34
Расход воды, т/час ………………………………. 50 – 100
Рабочие параметры
по пару:
давление, атм …………………………………….. 3 – 5
температура, ………………………………….. 240 – 400
по воде:
давление, атм …………………………………….. до 10
температура, ………………………………… до 200
Количество трубок ……………………………. 256
Размер трубки, мм ………………………………. 16 х 1
Число ходов воды ……………………………….. 4
|
|
Вес (корпус – нерж. сталь, трубки – латунь)
сухой, т …………………………………………. 2,068
заполненный водой при 10 атм, т ……………. 2,176
Подсоединения:
Вход питательной воды ………………………….. А
Выход питательной воды ……………………….. Б
Вход пара ………………………………………… В
Выход конденсата ………………………………… Г.
Как видим, в таблице технических характеристик не приведен целый ряд необходимых для построения математической модели параметров: температуры питательной воды на входе в аппарат и выходе из аппарата, расход пара, температура окружающей среды, в которой аппарат эксплуатируется. Значения одних придется брать из принимаемого регламентного режима, других – определять расчетным путем.
Исходя из диапазонов значений величин паспортных данных ПН 34-16- 4, в качестве регламентных значений примем:
- для расхода воды – Gв0= 72 т/ч (это 20 кг/с),
- для температуры пара при давлении 4 атм - tп0 = 300 ,
- для температуры питательной воды на входе при давлении 6 атм - t10 = 20 ,
- для температуры питательной воды на выходе - t20 = 150 (она принята близкой к температуре кипения при 6 атм, как это применяется на практике),
- для температуры окружающей среды - tос.0 = 20 .
Ушки служат только для подъема водяной камеры |
Рис. 4.1a. Паронагреватель марки ПН, виды спереди и сбоку
25 труб М 16×1, материал Л68 (ГОСТ 494 – 69) |
А - А |
Рис. 4.1б. Паронагреватель марки ПН, сечение АА на рис. 4.1а
В соответствии с конструкцией аппарата, расчетная его схема изобразится так, как показано на рис. 4.2. Технологический процесс в аппарате есть теплообмен теплоносителей через стенки латунных трубок, а теплота, выделяющаяся при конденсации пара, расходуется на нагрев воды и элементов конструкции самого аппарата.
|
|
Рис. 4.2. Расчетная схема теплообменника
Введем в рассмотрение следующие величины, участвующие в процессе передачи тепла от горячего носителя – пара к холодному носителю – питательной воде:
- расход воды на входе – G1 , кг/с;
- температура воды на входе – t1, ;
- расход нагретой воды на выходе – G2 , кг/с (естественно, G2= G 1= Gв );
- температура нагретой воды на выходе – t2, ;
- расход пара при температуре 300 ◦С и давлении 4 атм – Gп , кг/с;
- расход конденсата с температурой tк = 143 – Gк, кг/с;
- расход теплоты в аппарате на нагрев находящейся в нем воды – Qв, кДж/с;
- расход теплоты в аппарате на нагрев латунных трубок – Qт, кДж/с;
- расход теплоты, вносимой в аппарат паром – Qп, кДж/с;
- расход теплоты, вносимой в аппарат водой – Q1, кДж/с;
- расход теплоты, уносимой из аппарата с водой – Q2, кДж/с;
- расход теплоты, уносимой из аппарата с конденсатом– Qк, кДж/с;
- расход теплоты, передаваемой аппаратом в атмосферу– Qпот, кДж/с.
По условиям протекания установившегося процесса логично допустить, что такие параметры нагреваемой воды, как ее объем V в аппарате, плотность ρв и теплоемкость cв остаются постоянными, а при полной конденсации пара Gк = Gп . Поскольку толщина стенок латунных трубок по паспорту всего 1 мм, то мы не внесем большой погрешности, посчитав значение температуры воды в аппарате и самих стенок равной средней температуре воды на входе и выходе, т.е. tв = tст = 0,5(t1 + t2). Для составления математической модели дополнительно примем следующие допущения: tп = const и t1 = const.
Физические зависимости между рассматриваемыми величинами будем использовать по мере возникновения в них надобности.
В результате рассмотрения технологического процесса в аппарате, условий его протекания и сделанных допущений переменным величинам в процессе разумно сделать следующие назначения:
- управляемая величина - t2, так как этот параметр существенно влияет на затраты энергии в последующих операциях с нагретой водой (как правило – генерация и перегрев пара),
- возмущающая величина - Gв, так как количество нагретой воды определяет производительность по пару в дальнейшем,
- управляющая величина - Gп , так как пар низкого давления относительно дёшев. Формально последние два назначения можно поменять местами.
Теперь, когда все формальности выполнены, можем составить уравнение энергетического (теплового) баланса для прихода-расхода тепла (в кДж/с) в аппарате при его функционировании в установившемся режиме
Qв = Qп + Q1 – Qт – Q2 - Qк - Qпот. , (4.1)
где входящие в уравнение величины уже были описаны при их включении в перечень рассматриваемых, а знаки слагаемых соответствуют приходу тепла в аппарат (+) и его расходу (-).
С возникновением возмущающего воздействия за время Δτ все остальные величины, входящие в уравнение статики (установившегося режима), получат свои отклонения (приращения), а уравнение в приращениях запишется в виде
ΔQв = (ΔQп + ΔQ1 – ΔQт – ΔQ2 - ΔQк - ΔQпот)·Δτ. (4.2)
Каждое из этих приращений будем оценивать отдельно, начиная с теплоты, постоянно находящейся в аппарате.
Qв = V·ρв· cв·(tв –t1), (4.3)
а если, как решили при анализе процесса, считать tв = 0,5(t1 + t2), то
Qв = 0,5 V·ρв· cв·(t2 –t1). С учетом допущения о том, что t1 = const, Qв = Qв(t2). Поэтому Δ Qв = 0,5 V·ρв· cв·Δt2. (4.4)
По закону Ньютона-Рихмана Qт = α·Fт·(tк - tст). (4.5)
Но tк = const и t1 = const,а tст = 0,5(t1 + t2), поэтому Qт = Qт (t2) и
ΔQт = -0,5α·Fт·Δt2. (4.6)
Переходим к оценке теплоты, приходящей в аппарат.
Qп = iп· Gп . (4.7)
Значения iп при различных давлениях табулированы: при давлении 4 атм iп = 2744 кДж/кг. Поэтому Qп = Qп (Gп) и ΔQп = iп·ΔGп. (4.8)
Q1 = cв· Gв· t1. (4.9)
|
|
С учетом допущений cв = const и t1 = const Q1 = Q1(Gв) и
ΔQ1 = cв · t10 ·ΔGв. (4.10)
Из аппарата уходят:
Q2 = cв· Gв·(t2 –t1). (4.11)
С учетом допущений Q2 = Q2(Gв, t2) и
ΔQ2 = cв·(t20 –t10) · ΔGв + cв· Gв0·Δ t2; (4.12)
Qк = ск · tк · Gк. (4.13)
Конденсат есть вода. Поэтому ск = const. Кроме того, по допущению о полной конденсации пара Gк = Gп. Тогда Qк = Qк (Gп ) и
ΔQк = ск · tк · ΔGп . (4.14)
Если под потерями понимать теплоту, отдаваемую конденсатом через стенку корпуса аппарата, то по закону Фурье
Q = (λст.к/ δст.к)·Fст.к·(tк - t о.с.), (4.15)
где λ, δ и F - коэффициент теплопроводности, толщина и площадь внутренней поверхности стенки корпуса аппарата, а t о.с – температура окружающей среды. Поскольку все входящие в формулу величины являются либо константами (λст.к, tк), либо фиксированы конструкцией аппарата (δст.к, Fст.к) и условиями эксплуатации (t о.с), Qпот не зависит от величин, включенных нами в рассмотрение. Это означает, что
ΔQпот = 0. (4.16)
Теперь все величины, входящие в уравнение в отклонениях, известны. Осталось подставить их в уравнение (4.2) и выполнить некоторые простые преобразования.
0,5 V·ρв cв·Δt2 = (iп ΔGп + cв t10·ΔGв + 0,5α·Fт·Δt2 - cв (t20 –t10) ΔGв –
- cв·Gв0 Δ t2 - ск tк ΔGп) Δτ.
После группирования слагаемых относительно приращений рассматриваемых переменных (Δt2, ΔGп, ΔGв), переноса выражения, содержащего управляемую переменную, в левую часть, деления обеих частей уравнения на Δτ и выполнения предельного перехода при Δτ → 0 получим уравнение динамики в виде
0,5 V·ρв·cв· + (cв Gв0 - 0,5α·Fт) ·Δt2 = (iп - ск tк) ΔGп +
+ cв· (2 t10 - t20) · ΔGв. (4.17)
Теперь введем обозначения:
0,5 V·ρв cв / (cв Gв0 - 0,5α·Fт) = T; (4.18)
(iп - ск tк) / (cв Gв0 - 0,5α·Fт) = К1; (4.19)
cв (2 t10 - t20) / (cв Gв0 - 0,5α·Fт) = К2, (4.20)
после чего уравнение динамики примет хорошо знакомый вид:
Т + Δt2 = К1 ΔGп + К2 ΔGв. (4.21)
Теперь задача свелась к определению численных значений постоянной времени Т и коэффициентов К1 и К2. Чтобы убедиться в том, что Т – постоянная именно времени, достаточно проверить ее размерность
, так как .
Для определения значения Т кроме табличных значений ρв = 970 кг/м3 и cв = 4,19 кДж/(кг· ) *, регламентного значения расхода воды Gв0, необходимо вычислить по конструктивным параметрам общую площадь Fт контакта пара с трубками и объем воды в трубках, а также коэффициент теплопередачи α при конденсации пара на вертикальных стенках трубок.
|
|
При расчете Fт закругления труб при смене направления хода воды заменим прямыми участками и будем считать длину трубок L = 2,6 м.
Тогда Fт = π·dнар·L·n. (4.22)
Fт = 3,14·16·10-3·2,6·256 = 33,44 м2.
Для вычисления α воспользуемся формулой (4.52) на с. 161 в *. Она как раз для случая конденсации водяного пара на пучке вертикальных труб:
α = 2,04·7420 /(L·Δt)1/4. (4.23)
Здесь Δt определим как разницу между температурой конденсата на внешних поверхностях трубок и средней температурой воды в трубках:
Δt = 143 – 0,5(20 + 150) = 58 . Тогда α = 2,04·7420 /(2,6·58)1/4 , что составляет 4319,86 Вт/ (м2 ·°К) или 4, 32 кДж/(м2 ·°К).
Внутренний объем труб считается легко:
V = π·d 2вн.· L·n/4 (4.24)
V = 3,14·142 ·10-6 ·2,6·256/4 ≈ 0,1 м3.
Определим значение постоянной времени по (4.18):
Т = 0,1·970·4,19 / 2(4,19·20–0,5·4,32·33,44)=406,43 / 2·11,57 = 17,56 с.
При определении значения коэффициента К1 необходимо знать удельную энтальпию пара. Ее значение уже было найдено по таблице состояний воды и водяного пара, а за значение теплоемкости конденсата (ведь это уже вода) возьмем значение для cв при 143 .
По формулам (4.19) и (4.20):
К1 = (2744 – 4,18·143) / (4,19·20 – 0,5·4,32·33,44) =2146,26 / 11,57 = 185,5.
К2 = 4,19·(2·20 - 150) / (4,19·20 – 0,5·4,32·33,44) = -460,9 / 11,57 = - 39,836.
И уравнение динамики приобретает окончательный вид
17,56 · +Δt2 = 185,5 · ΔGп – 39,836 · ΔGв. (4.25)
_________
* Павлов К.Ф., Романков П.Г., Носков А.А. Примеры и задачи по курсу процессов и аппаратов химической технологии. М: Альянс, 2006. Значения плотности и теплоемкости воды взяты по табл. IV и номограмме рис. ХI при t = 85 (это – средняя температура воды в трубках).
Теперь можно выписать полную математическую модель. Но для этого не хватает регламентного значения расхода пара. Для составления уравнения динамики значение Gп0 не потребовалось, но оно входит в уравнение статики. И расходуется подаваемый пар, в том числе, и на потери тепла. Сами потери были оценены как не зависящие от рассматриваемых нами величин в силу постоянства температуры конденсата. Но знать-то их надо. Поэтому в соответствии с законом Фурье (4.15): Qпот = 17,5·0,82·π·2,6·(143 - 20) / 0,01 ≈ 1441 кДж/с. Такую теплоту содержит пар Gпп, теплота которого пошла на потери. Его расход в соответствии с (4.7) есть Gпп = 1441 / 2744 = 0,525 кг пара /с. Расход пара только на нагрев воды можно определить по формуле
Gпв = cв · Gв ·(t20 –t10) / (iп – iк). (4.26)
Смысл ее прост: скрытая теплота парообразования, выделяющаяся при конденсации, расходуется на нагрев воды от температуры t10 до t20.
Gпв = 4,2·20·130 / (2744 - 601) = 5,1 кг/с.
Общий расход пара, естественно, равен сумме
Gп0 = Gпп + Gпв. (4.27)
Gп0 = 5,625 кг /с.
Здесь уместно проверить, с каким КПД работает аппарат. Ведь на практике он составляет не менее 0,9. КПД = 5,1 / 5,625 = 0,907. Отсюда можно заключить, что наши расчеты не противоречат существующей практике эксплуатации аппаратов подобного типа. Но вернемся к основной задаче: выписыванию математической модели в явном виде и построению структурной схемы системы управления технологическим объектом по его математической модели.
Полная математическая модель представлена на с. 23.
Для построения структурной схемы системы управления по математической модели к обеим частям уравнения (4.25) применим преобразование Лапласа. Получим уравнение
17,56p· + = - .
Теперь передаточные функции по каналам управления и возмущения легко могут быть определены:
,
Структурная схема системы управления технологическим объектом по математической модели изображена на рис. 4.3.
Рис. 4.3. Структурная схема управления по математической модели
Полная математическая модель выглядит так:
┌
Конструктивные параметры:
L = 2,6 м; dтр = 16 х 1; Dвн = 0,82 м; δст.к. = 0,01 м;
V = const, Fтр = const.
Допущения:
ρв = const; cв = const; Gк = Gп; tп = const и t1 = const.
Использованные соотношения между рассматриваемыми
величинами:
все, указанные в тексте по составлению модели.
Уравнение статики:
Qв = Qп + Q1 – Qт – Q2 - Qк - Qпот
Уравнение динамики:
0,5 V·ρв· cв· + (cв· Gв0 - 0,5α·Fт) ·Δt2 = (iп - ск · tк) · ΔGп +
+ cв· (2 t10 - t20) · ΔGв.
Регламентный режим:
(t10= 20 , Gв0 = 20 кг/с, t20= 150 , Gп0 = 5,625 кг /с, tос.0 = 20 ,
pв = 6 атм, pп = 4 атм, tп = 300 )
└
Уравнение динамики для паронагревателя марки ПН:
, |
, |
, |
. |
Функции управляющего и возмущающих воздействий задаются в следующем виде:
Gв |
Gп |
А |
Для исследования воспользуемся пакетом Mathcad-14 его функциями и инструментами:
Численные решения дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта с построением графика решения; Для изменения отклонения заданных параметров функций управляющего и возмущающих воздействий в фиксированных границах, воспользуемся элементом управления «ползунок»
Для различных комбинаций значений параметров управляющего и возмущающих воздействий решения имеют вид:
В результате сравнительного анализа полученных графиков переходных процессов можно сделать следующий вывод:
наименьшее время переходного процесса достигнуто при значении параметров
К1=0.2 A=12,1
t1=13 a=0.17
Эти значения могут быть рекомендованы для контроля в технологическом процессе с целью скорейшего возврата к параметрам регламентного режима.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Министерство образования и науки Российской Федерации
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургский государственный технологический университет растительных полимеров»
Факультет автоматизированных систем управления технологическими процессами
Кафедра автоматизации технологических процессов
и производств