double arrow

Аналитическое описание

Обратимся теперь к проблеме аналитического описания звезды Шри Янтры. Пользуясь простыми уравнениями прямой и окружности для каждой пары линий в звезде, мы можем в аналитическом виде определить координаты точки их пересечения. Имея полный комплект таких уравнений, посредством последовательной подстановки (суперпозиции) координат точек пересечения из одного уравнения в другое, мы можем попытаться вывести результирующие уравнения, описывающие каждый из четырех структурных компонентов. Так, в простейшем случае компонента 1 мы имеем (см. рис. 2а) следующую систему уравнений для координат точек пересечения (не уменьшая общности, для простоты примем, что радиус внешней окружности = 1):

yD = (yA'-y2)/yA'+y2; xD = Ö(1-yD2); y2 = -yA-- (y1-yA-)/(x1-xA-)*xA-; x1 = (1-y4)/(y4+1)*x4; x4 = Ö(1-y42); y4 = y3 = y1 = -yA- = yA (2)

Требование для точного построения компонента 1 выражается равенством y2=yD, которое после последовательной взаимной подстановки уравнений системы 2 преобразуется в полиномиальное уравнение вида:

P8,4(yA, xA')=yA8-4*yA7+4*yA6+4*yA5-10*yA4+4*yA2-4*yA+1-4*xA2+ +8*yA*xA'2-20*yA2*xA'2+20*yA4*xA'2- 8*yA5*xA2+4*yA6*xA'2+16*yA'2*xA'4 = 0 (3)

Если следовать такой процедуре и далее, то в целом звезда Шри Янтры может быть описана системой четырех подобных нелинейных алгебраических уравнений от четырех независимых переменных, которые присутствуют в уравнениях в степени от второй до шестнадцатой:

P8,4(yA, xA') = 0 Q14,8,4(yA, xA, yB) = 0 R16,4,6,6(yA, xA, xA', yB) = 0 S6,3,2,4(yA, xA, xA', yB) = 0 (4)

где Ai,j...(x, y,...) - обозначены полиномы i, j,...-степени от переменных x, y,..., которые включают от 16 до 512 членов.

Корни.

Из геометрической природы системы 4 следует, что она обязана иметь не менее одного действительного решения (корня) относительно переменных yA, xA, xA', yB, которое может быть вычислено с заданной точностью посредством некоторого итерационного численного метода (например, метода наикратчайшего спуска). Вычисленное нами решение имеет следующие значения:

yA = 0.279461220858xA = 0.259039898582xA' = 0.270779392707yB = -0.10141046595 (5)

Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: