Краткое теоретическое введение. Пусть задан некоторый ряд слагаемых a1(х)+a2(х)+a3(х)++an(x) и необходимо найти его сумму

Пусть задан некоторый ряд слагаемых a₁(х)+a₂(х)+a₃(х)+...+a_n(x) и необходимо найти его сумму. Если слагаемые зависят от некоторого параметра Х и номера n, опреде­ляющего место этого слагаемого в ряде, то такой ряд называется функциональным.

Если слагаемые зависят только от номера, то такой ряд называется число­вым. Обычно функциональные и числовые ряды зада­ются в виде формулы общего члена ряда, которые по методам вычисления можно разбить на три типа:

Таблица1.

I
II
III

где m,n,k - целые числа;

a,b,c,d - действительные числа;

(обозначение a_n - a с индексом n).

1. Для вычисления члена ряда типа 1 наиболее удобно исполь­зовать рекур­рентные соотношения, т.е. последующий член ряда находить через предыдущий, что существенно сократит объем вычислительной работы, особенно при вы­числении факто­риалов.

Вычисление последующего члена ряда можно представить в виде рекуррентной формулы: А[n+1]=A[n]*G(n,x), где G(n,x)=a_n+1/a_n.

При использовании рекуррентных формул необхо­димо определить начальное значение n, c которого выполняются рекуррентные соотно­шения, а, сле­довательно, этим определяются начальные значения (выражения для а и S).

2. Ecли формула общего члена ряда принадлежит типу II, то це­лесообразнее и эффективнее вычислять каждый член ряда по общей формуле. В за­дачах данного типа необходимо обратить внимание на определение начального значения n и началь­ное значение суммы.

3. Если формула общего члена ряда принадлежит типу III, то целесообразно вычисление текущего члена ряда представить как произведение двух или более со­множителей.

При вычислении ряда данного вида важным моментом является выбор начального значения С,a1,n,S.

Из приведенных примеров видно, что алгоритм вычисления суммы членов неко­торого функционального ряда относится к сложной циклической струк­туре с вложен­ным циклом. Внутренний цикл вычисляет сумму ряда при фиксирован­ном параметре х, а внешний - организует изменение параметра х.