Метод итераций и метод Зейделя

Метод итераций позволяет получить последовательность приближенных значений, сходящуюся к точному решению системы линейных уравнений. В отличие от метода Гаусса, метод итераций не требует контроля промежуточных вычислений, так как отдельные ошибки на каком-либо шаге итерации не искажают окончательных результатов, хотя и удлиняет процесс счета. Иначе говоря, метод итераций решения систем линейных уравнений является самоисправляющимся. Кроме того, метод итераций легко запрограммировать для ЭВМ. Пусть имеем систему

или, короче, .

Предположим, что определитель системы отличен от нуля и что диагональные коэффициенты Выразим из первого уравнения x₁, из второго x₂, и т. д. Тогда получим эквивалентную систему:

,

где

Полученную систему запишем так:

(3)

и назовем ее системой нормального вида.

Будем решать ее методом последовательных приближений. За нулевое приближение возьмем, например, столбец свободных членов

Подставив в правую часть системы (3) значения (i = ), получим первое приближение:

.

Затем аналогично второе: и т. д.

Таким образом, зная k- e приближение, (k + 1)-е приближение вычисляют по формуле

(4)

Если последовательность приближений () (j = ) имеет предел то является точным решением системы нормального вида, а значит, и исходной системы. В самом деле, переходя к пределу при в (4), имеем:

Описанный метод последовательных приближений называется методом итераций. Рабочие формулы метода итераций имеют вид:

Существование предела гарантирует теорема о достаточном признаке сходимости процесса итераций.

Достаточным условием сходимости итерационных методов является условие

При методе Зейделя итерационный процесс подобен описанному для метода простых итераций, однако уточненные значения Х_i^j+1 сразу подставляются в последующие уравнения. Формула итерационного процесса имеет вид: