2015-03-22
1249
Математические модели технических средств, систем автоматизации и управления весьма многообразны и могут быть достаточно сложными. В частности на сложность электромеханических систем управления влияет множество факторов: число, тип и последовательность звеньев (кинематических пар), компоновочные схемы размещения приводов механических подсистем и конструкции передаточных механизмов, наличие устройств уравновешивания и динамической развязки движений и др.
Механические системы, как правило, имеют значительно большую инерционность по сравнению с инерционностью электромагнитных цепей электроприводов, приводящих их в движение, что позволяет при составлении математических моделей ЭМСУ использовать уравнения Лагранжа 2-го рода [2]:
, (4.1)
где q, 
, 
– векторы обобщенных координат, скоростей и обобщенных сил;
– кинетическая энергия механической системы;
Решение уравнения (4.1), т. е. математическую модель механического объекта управления представляют в форме системы обыкновенных дифференциального уравнений (ОДУ), разрешенных относительно вторых производных обобщенных координат (обобщенных ускорений), т. е.
. (4.2)
Для составления уравнений Лагранжа составляют расчетную схему механической системы, учитывающую геометрические размеры механических звеньев, тип и распределение (порядок расположения) кинематических пар, массы звеньев, упругие свойства кинематических связей.
Составление дифференциальных уравнений движения материальной системы на основе уравнений Лагранжа проводят в следующей последовательности:
1) определяют число n степеней свободы материальной системы;
2) выбирают систему координат и вводят независимые обобщенные координаты q 1, q 2 ,…, q n; 
- вектор обобщенных координат; их число должно быть равно числу n степеней свободы механической системы;
примечание: обобщенные координаты – независимые параметры, однозначно определяющие положение точек материальной системы;
3) определяют обобщенные силы системы Q 1, Q 2,…, Qn; 
- вектор обобщенных сил;
примечание 1: для определения обобщенной силы Qi, соответствующей i -й обобщенной координате, надо вычислить сумму работ всех активных сил, включая реакции неидеальных связей, на обобщенном возможном перемещении 
; при этом все остальные обобщенные возможные перемещения принимают равными нулю; тогда
; (4.3)
примечание 2: если силы, действующие на систему потенциальны (однозначно определяются только положением материальных точек системы), то обобщенную силу Qi можно найти как частную производную потенциальной энергии по обобщенным координатам, т. е.
, (4.4)
где потенциальная энергия системы E п определяется как функция обобщенных координат, т. е. 
; потенциальная энергия, создаваемая силами тяжести звеньев механической системы, для i -го звена массой mi равна 
, где 
- высота подъема центра масс i -го звена, g – ускорение силы тяжести; потенциальная энергия, создаваемая силами упругости упругого звена (например, пружины), для i -го звена равна 
, где сi – жесткость упругого звена, 
- угол закручивания (приращение обобщенной координаты);
4) вычисляют кинетическую энергию E к системы как функцию обобщенных координат и скоростей т. е. 
; кинетическая энергия материальной системы определяется как сумма кинетических энергий всех n материальных точек системы
. (4.5)
Использование формулы (4.5) ориентировано на концепцию распределенных масс механической системы и требует определения абсолютных скоростей 
достаточно большого множества материальных точек системы с массами mi.
Кинетическая энергия в частных случаях движения твердого тела:
- при поступательном движении: 
, где m – масса твердого тела, v – скорость любой его точки;
- при вращательном движении вокруг неподвижной оси: 
, где JZ – момент инерции твердого тела относительно оси Z вращения, 
– угловая скорость вращения;
- при вращательном движении вокруг неподвижной точки: 
, где J – момент инерции твердого тела относительно мгновенной оси вращения, – модуль мгновенной угловой скорости;
Если в твердом теле удается выделить оси материальной симметрии и, соответственно, главные центральные оси инерции, то кинетическую энергию тела определяют по формуле
, (4.6)
где 
- осевые моменты инерции твердого тела;
- проекции мгновенной угловой скорости на соответствующие координатные оси.
5) находят частные производные кинетической энергии по обобщенным скоростям т. е. 
, а затем вычисляют их производные по времени:
;
6) находят частные производные кинетической энергии по обобщенным координатам т. е. 
;
7) полученные в п. п. 3-6 результаты подставляют в уравнение (4.1) и дифференциальные уравнения разрешают относительно вторых производных по времени обобщенных координат, т. е. записывают уравнение движения механической системы в форме (4.2).
В качестве примера рассмотрим расчетную схему механизма с тремя степенями подвижности, приведенную на рис. 4.1. Такие схемы применяются для механизмов переносных движений роботов-манипуляторов, портальных кранов, экскаваторов, ротационных стендов и т. п.
 |
Рис. 4.1. Расчетная схема механизма с тремя степенями подвижности
Платформа механизма совершает вращательное движение вокруг оси Z 1 со скоростью 
. Каретка (ползун) массой m 2 перемещается вдоль радиуса
вращения платформы (оси X) со скоростью 
. Груз (изделие) массой m 3 поворачивается вокруг оси Y (ось Y направлена касательно к радиусу x вращения каретки, проходит через центр ее масс m 2) и отстоит на расстоянии 
от оси вращения.
1) В число обобщенных координат механизма включим угол j поворота платформы против часовой стрелки, радиус x перемещения каретки от оси вращения платформы и угол a поворота ИП вокруг оси X2 против часовой стрелки, т. е. 
.
2) Будем полагать, что приведенный к валу платформы момент инерции равен 
, а массы m 2 радиально перемещаемой каретки и m 3 перемещаемого груза сосредоточены в их центрах масс.
3) Вектор обобщенных сил, действующих на систему (см. рис. 4.1),
(4.7)
где M 1, M 3 – вращающие моменты электроприводов на валах платформы и груза,
Mс 1, Mс 3 – реактивные моменты сопротивления на валах платформы и груза,
- активный момент сопротивления вращению груза, вызванный силой тяжести груза,
F 2, Fс 2 – сила радиального перемещения каретки и сила сопротивления этому перемещению (см. рис. 4.1).
4) Кинетическую энергию стенда представим в виде суммы кинетических энергий платформы, каретки и груза, т. е.
, (4.8)
где 
; (4.9)
– момент инерции платформы, включающей приведенный к ее валу момент инерции электропривода платформы;
; (4.10)
, (4.11)
где 
– абсолютные скорости центров масс соответственно каретки и платформы.
Каретка (ползун) совершает сложное движение и абсолютная скорость движения ее центра масс 
состоит из переносного вращательного движения платформы и относительного движения каретки вдоль оси X ее линейного перемещения, т. е.
а, следовательно,
. (4.12)
Груз совершает также сложное движение и скорость движения его центра масс 
состоит рассмотренного выше переносного сложного движения каретки и относительного движения груза вокруг оси Y. Применяя теорему о сложении скоростей точки к точечной массе m 3, получим
,
а, следовательно, 
(4.13)
Подставляя полученные выражения в (4.23), получим
(4.14)
5) Частные производные кинетической энергии по обобщенным скоростям
,
,
.
Возьмем производные по времени полученных выражений, имея в виду, что все обобщенные координаты и скорости являются функциями времени:
,
.
6) Частные производные кинетической энергии по обобщенным координатам
,
,
.
7) В результате подстановки (4.7) и (4.14) в векторное уравнение Лагранжа (4.1) и последующих преобразований математическая модель стенда описывается системой трех обыкновенных дифференциальных уравнений:
(4.15)
Уравнения в форме (4.15) обычно преобразуют к нормальной форме (4.2) Коши, разрешая их относительно обобщенных ускорений.
Как следует из (4.15), рассматриваемый механизм является нелинейным объектом третьего порядка с перекрестными связями по обобщенным координатам и скоростям.
Для решения уравнений динамики (4.15) целесообразно применение широко распространенных математических систем (Maple V R 3 …R 6, Matlab 5.0…6.5, MathCAD Pro (Premium), Mathematica 2…4 и др.). Прежде всего, пакеты символьной математики этих математических систем позволяют преобразовать векторно-матричное описание (4.15) к нормальной форме Коши, исключив многочисленные рутинные преобразования. Кроме того, эти математические системы позволяют выполнить численное интегрирование систем линейных и нелинейных дифференциальных уравнений, наглядно представить результаты вычислений в виде таблиц и графиков и решить целый перечень задач математического моделирования динамических систем.
