Анализ чувствительности решения к изменению коэффициентов целевой функции

Анализ чувствительности к изменению коэффициентов целевой функции c_j предполагает определение пределов изменения этих коэффициентов при условии неизменности полученного оптимального решения.

При исследовании на чувствительность решения к изменению коэффициентов целевой функции c_j прямой задачи удобно воспользоваться решением двойственной задачи. Для двойственной задачи конечная симплекс-таблица в матричном виде может быть записана: , (6.21)

где [ Y_B ] – матрица-столбец базисных переменных конечной симплекс-таблицы двойственной задачи;

[ P^* ] – матрица перехода базисных переменных конечной симплекс-таблицы двойственной задачи;

- матрица-столбец исходных коэффициентов целевой функции прямой задачи (в двойственной задаче они играют роль правых частей ограничений);

[ C ] - матрица-столбец конечных значений коэффициентов c_j двойственной задачи (для прямой задачи это конечное значение коэффициентов целевой функции).

Аналогично рассмотренному ранее вводится понятие вектора устойчивости оптимального решения двойственной задачи к коэффициентам c_j _:

. (6.22)

Для исследования на чувствительность решения к изменению коэффициентов c_j исходят из следующих соображений: значения приращений Dc_j как компонент вектора устойчивости [ DC ] должны иметь знак, соответствующий оптимальным коэффициентам в строке целевой функции последней симплекс-таблицы (иначе решение станет уже не оптимальным).

Вектор устойчивости коэффициентов c_j может быть записан через матрицу преобразования двойственной задачи [P^*] в виде

. (6.23)

Условие неотрицательности для компонент вектора-столбца [ DC ], аналогично рассмотренному [ DB ], может быть представлено в виде системы:

(6.24)

Анализ этой системы легко осуществить отдельно для изменения каждого коэффициента c_j. Пределы изменения коэффициента c_j при переменной x_j, оказавшейся в последней симплекс-таблице прямой задачи в числе свободных, определяются непосредственно коэффициентом в строке целевой функции этой переменной (например, Dс₁ £57/4 из симплекс-таблицы прямой задачи означает, что изменение с₁ на величину Dс₁ £57/4 не приводит к изменению как оптимального решения, так и целевой функции).

Изменение коэффициентов при переменных, оказавшихся в числе базисных последней симплекс-таблицы, приводит к изменению целевой функции.

Например, с₂ и с₃ при х₂ и х₃, приращения Dс₂ и Dс₃ приведут к изменению целевой функции на величину DF = Dс₂x₂ + Dс₃x₃. При сохранении неизменным полученного оптимального решения х₂=const, x₃=const.