Вывод рабочей формулы

Выберем мысленно в баллоне объем воздуха массой m₀ вдали от клапана. Назовем массу m₀рабочей массой газа. Эта масса останется все время в баллоне. Накачиваемый и выпускаемый из баллона воздух служит лишь для сжатия и расширения объема рабочей массы газа.

Для определения отношения теплоемкостей g воздуха находящегося в баллоне рассмотрим последовательность термодинамических процессов представленных на р - V - диаграмме (рис. 3). Обозначим через р_0,V_0, T₀ исходные величины термодинамических параметров газа в баллоне (на диаграмме точка 1). Сначала в баллон накачивается воздух (процесс 1 - 2). При этом газ в баллоне сжимается и нагревается. После изохорного остывания до начальной комнатной температуры (процесс 2 - 3) газ имеет некоторое давление р₁ и температуру Т₀ (в точке 3 имеем параметры: р₀,Т₁,V). Затем газ адиабатически расширяется (процесс 3 - 4), т.к. баллон клапаном 5 соединяют с атмосферой. Газ при этом охлаждается и его давление падает до величины р₀, а температура Т₁ < Т₀. В момент достижения давления р₀ клапан должен перекрываться, и далее, газ будет изохорически нагреваться до комнатной температуры (процесс 4 - 5). В точке 5 давление газа р₂ > р₀, а температура равна Т₀. В условиях реального эксперимента процесс (4-5) трудно осуществим, т.к. клапан баллона должен быть перекрыт в момент, когда давление в баллоне станет равным р₀. С другой стороны время, в течение которого давление в баллоне уменьшается от р₁ до р₀, должно быть достаточно мало так, чтобы теплообменом с окружающем воздухом можно было бы пренебречь. Обозначим Δр₁= р₁−р₀и Δр₂= р₂−р₀. Будем считать, что Δр₁ << р₀ и Δр₂<< р₀.

Рассмотрим влияние времени t, в течение которого клапан оставался открытым после достижения давления р₀, на результат опыта. За это время t, пока клапан открыт, происходит изобарический нагрев (процесс 4 - 6) за счет теплообмена газа со стенками баллона, а также уход части газа из баллона, вызванный нагревом и расширением этого газа. Величину t назовем временем задержки.

После того, как клапан закрывается (6), происходит изохорический нагрев (процесс 6 - 7). Давление в баллоне достигает величины р₀ + Δр. Конечное состояние (точка 7) лежит на той же изотерме, что и точки 1, 3, 5, но Δр ≠ Δр₁ (Δр < Δр₁).

Из этого рассмотрения видно, что Δр зависит от t. Таким образом, необходимо принять во внимание теплообмен и уход части газа из баллона за время t.

Рассмотрим процесс остывания (4-6) в течение времени t. Уравнение баланса энергии для газа находящегося в баллоне может быть записано в виде:

, (3)

где с_Р- удельная теплоемкость газа, a - коэффициент теплоотдачи, m - переменная масса газа в баллоне:

где Т - температура газа в момент времени t, μ – молярная масса воздуха. Подставив массу m в левую часть выражения (3) и преобразуя выражение, получим:

(4)

Используем, что , тогда выражение (4) примет вид:

(5)

Интегрируя (5),получим уравнение:

Константу интегрирования А найдем из условия, что при t = 0
Т₁= Т₀ - DТ₁ Окончательное соотношение имеет вид:

, (6)

где - масса газа, находящегося в начальном состоянии.

Температура газа Т тем больше, чем больше время выдержки t. После того, как в момент времени t клапан закрывается, нагрев газа в баллоне продолжается изохорно. Давление газа в конце концов достигает величины р = р₀ + Δр.

Из условия изохорности следует:

После преобразований имеем:

(7)

Уравнение адиабатического процесса (3 - 4) можно записать в виде:

после преобразований имеем выражение:

=> ,

учитывая малость Δр₁, получим: , и наконец:

(8)

Подставляем соотношения (7, 8) в (6) и, учитывая, что Т₁= Т₀ - DТ₁, получаем формулу:

(9)

Это соотношение учитывает, как теплообмен, так и уход газа из баллона в процессе нагрева. Соотношение (10) позволяет найти g по измеренным при разных величинах t значениям Δр₁ и Δр. График зависимости от t является линейной функцией. Если экстраполировать этот график до t = 0, то он будет отсекать на оси ординат отрезок: