2015-03-27
1655
Теорема 6.2. Пусть функция f(x) определена на множестве Х, а функция φ(t) – на множестве Φ, причем 
. Тогда, если функция f(x) имеет первообразную F(x) на Х, а φ(t) дифференцируема на Φ, то
(6.1)
Доказательство.
, поэтому функция F(φ(t)) является первообразной функции f(φ(t)) φ΄(t). Следовательно, 
. С другой стороны, при x = φ(t) 
. В полученных формулах равны правые части, следовательно, равны и левые, что доказывает справедливость формулы (6.1).
Замечание 1. Формулу (6.1) называют формулой интегрирования подстановкой.
Замечание 2. Часто удобно бывает использовать формулу (6.1) «в обратную сторону»:
, (6.2)
то есть заменять переменную х функцией новой переменной t. Формула (6.2) носит название формулы интегрирования заменой переменной.
Замечание. Формулы (6.1) и (6.2) показывают, что вид первообразной не изменяется при замене независимой переменной х на функцию φ(t), поэтому их называют формулами инвариантности интегрирования.
Примеры.
1. 
При этом была сделана подстановка x = sin t.
2. 
Интеграл был вычислен с помощью замены переменной: x = t ².
|
|
|
