2015-03-27
1094
Пусть функция u = f (x1, x2,…, xn) определена и непрерывна в некотором ограниченном и замкнутом множестве D и имеет на этом множестве конечные частные производные (за исключением, быть может, отдельных точек). Тогда эта функция достигает на D своего наибольшего и наименьшего значения (см. свойства непрерывных функций). Если это значение достигается во внутренней точке множества, то, очевидно, эта точка должна быть стационарной; кроме того, наибольшее и наименьшее значение может достигаться на границе множества D. Поэтому для определения наибольшего и наименьшего значений функции на множестве D требуется:
1) найти стационарные точки функции, принадлежащие D, и вычислить значения функции в этих точках;
2) найти наибольшее и наименьшее значение, принимаемое функцией на границе множества D;
3) выбрать наименьшее и наибольшее из полученных чисел, которые и будут являться наименьшим и наибольшим значениями функции на всем множестве D.
Примеры.
1. Найдем наибольшее значение функции z = sin x + sin y – sin (x + y) в треугольнике со сторонами х = 0, у = 0, х + у = 2π. Стационарные точки определяются из решения системы 
, откуда 
. Единственной внутренней точкой данного треугольника, являющейся решением полученной системы, будет 
, в которой 
. Это значение оказывается наибольшим и на всем рассматриваемом множестве, так как на его границе z = 0.
2. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции z = x ² + y ² - 12 x + 16 y в области x ² + y ² ≤ 25. 
, откуда х = 6, у = -8 – точка, не лежащая в заданном круге. Следовательно, наибольшее и наименьшее значения данная функция принимает на границе области, то есть на окружности x ² + y ² = 25. Составим функцию Лагранжа L (x, y) = x ² + y ² - 12 x + 16 y + λ (x ² + y ² - 25). Ее стационарные точки найдем из системы 
. Получим 
, откуда λ1 = 1, λ2 = -3. Следовательно, стационарными точками являются (3, -4) и (-3, 4). В первой из них z = -75, во второй z = 125. Эти числа являются наименьшим и наибольшим значениями z в заданной области.
Лекция 6.
