2015-03-07
687
Гироскопом называется массивное твердое тело (обычно диск), быстро вращающееся вокруг оси симметрии. Для того чтобы ось гироскопа могла принимать любое направление в пространстве, используется карданов подвес (рис.12.1). Гироскоп – диск, вращающийся вокруг оси AA'. Внутреннее кольцо может вращаться вокруг горизонтальной оси ВВ', перпендикулярной оси AA'. Внешнее кольцо может вращаться вокруг вертикальной оси DD'. Таким образом, у гироскопа есть три степени свободы. Точка пересечения всех трех осей AA', ВВ' и DD' совпадает с центром масс гироскопа, неподвижным относительно подвески. Такой гироскоп называется свободным.
При своем вращении гироскоп обладает моментом импульса
. (12.1)
В этом выражении 
– момент инерции гироскопа относительно оси симметрии AA', 
– угловая скорость его вращения относительно той же оси. Отметим, что векторы 
и 
расположены вдоль оси вращения. Их направление определяется правилом буравчика. Движение гироскопа с неподвижным центром масс описывается уравнением моментов или основным уравнением динамики вращательного движения:
. (12.2)
В котором 
– равнодействующая моментов внешних сил, приложенных к телу. Момент силы равен векторному произведению радиуса вектора точки, к которой приложена сила, на эту силу:
. (12.3)
При 
= 0 момент импульса сохраняется по величине и направлению. Если к оси гироскопа на некотором расстоянии от его центра масс под углом к этой оси приложить внешнюю силу 
, то возникнет момент внешних сил (рис.12.2), направленный перпендикулярно вектору . Из уравнения (12.2) следует, что векторы 
и параллельны друг другу, поэтому 
. Из сказанного следует, что внешняя сила изменяет только направление момента импульса, не меняя его величины, т. е. заставляет его вращаться вокруг своего направления. Таким образом, момент импульса, а с ним и ось AA' гироскопа, описывает в пространстве коническую поверхность (рис.12.2, а).
За время 
проекция момента импульса на горизонтальную плоскость повернется на угол 
:
, (12.4)
где 
– угол между направлениями момента импульса и оси вращения.
Угловая скорость 
вращения вектора 
вокруг направления внешней силы
. (12.5)
Выразим значение момента силы 
из написанной выше формулы:
. (12.6)
Учтем, что величины , 
и являются векторами, их направления показаны на рис.2, и перепишем формулу (6) в векторной форме:
. (12.7)
В дальнейшем внешней силой, приложенной к гироскопу, будет сила тяжести дополнительного груза, направленная вертикально вниз. Под действием момента этой силы ось гироскопа будет вращаться вокруг вертикальной оси DD' с угловой скоростью (см. рис.12.2). Поскольку при этом вращении взаимная ориентация векторов и не изменяется, вращение гироскопа вокруг вертикальной оси DD' будет равномерным. Такое вращение называется регулярной прецессией, а величина – угловой скоростью прецессии.
Если ось гироскопа AA' направлена горизонтально (рис.12.2, б), т. е. = 90° и коническая поверхность становится плоской, то из уравнения (12.6) следует, что
. (12.8)
Отметим, что все приведенные выше рассуждения относятся к быстро вращающемуся гироскопу, когда 
. В настоящей работе это условие выполняется.
