Определение характеристик систем массового обслуживание (СМО)

I. Типовая СМО состоит из трех частей:

- обслуживания поступающих заявок,

- входного потока заявок на обслуживание,

- очереди в ожидании обслуживания.

Например, надо выбрать один из нескольких конкурирующих вариантов строительства автозаправочной станции (АЗС) с одной бензоколонкой, которая является типичной СМО. Автомашины прибывают на АЗС случайным образом и, если не могут быть обслужены сразу, становятся в очередь. Дисциплина очереди - "первым приехал - первым обслужен".

Пусть статистические наблюдения позволили получить среднее количество автомашин m, обслуживаемых в единицу времени. Обратная величина 1/m определяет среднее время обслуживания одной автомашины. Вероятность того, что обслуживание одной атвомашины в момент t будет завершенно за малый промежуток времени приблизительно равна m ,

m >0. Вероятность того, что обслуживание не закончится 1-m . Тогда плотность распределения времени обслуживания имеет экспоненциальный вид

m exp (- mt), .

Среднее число автомашин, появляющееся на АЗС за единицу времени, то есть интенсивность появления а обратная величина - среднее время появления на АЗС одной автомашины. Вероятность того, что за не прибудет ни одной автомашины .

Из сказанного выше, на основе теории вероятностей, можно сделать два вывода:

1) промежутки времени между двумя последовательными появлениями автомашин удовлетворяют экспоненциальному распределению

2) вероятность того, что за любой, уже достаточно большой период времени Т>> прибудет n автомашин, подсчитывается по формуле

то есть входной поток автомашин на АЗС является пуассоновским.

II. При проектировании АЗС необходимо выполнение условия , ибо в противном случае очередь будет постоянно расти. Если это условие выполненно, то через некоторое время после начала работы АЗС перейдет в стационарный режим, то есть характеристики не будут зависеть от времени.

Нагрузка СМО стационарный режим наступает при и тогда основные её характеристики определяются по формулам:

1. Коэффициент простоя СМО

2. Среднее число клиентов СМО

3. Средняя длина очереди

4. Среднее время пребывания (обслуживания) клиента

5. Время пребывания клиента в очереди

На основании анализа значений приведенных характеристик можно сделать вывод о целесообразности выбора конкретного варианта строительства АЗС.

III. Пример:

1. Исходные данные:

- средний интервал между прибытием автомашин мин,

- варианты строительства АЗС имеют следующие средние времена обслуживания автомашин 1/m: 5 мин; 3,5 мин; 2 мин; 1 мин; 0,5 мин.

2. Используя выражения для и зная значения можно определить величины Е₁, Е₂, Е_3, Е₄, Е₅ и результат свести в таблицу

Характеристика СМО	Варианты АЗС как СМО

	4 мин	4 мин	4 мин	4 мин	4 мин
	0,25	0,25	0,25	0,25	0,25
1/ m	5 мин	3,5 мин	2 мин	1 мин	0,5 мин
m	0,2	0,286	0,5	0,25	0,125
	1,25	0,875	0,5	0,25	0,125
Е₁	-0,25	0,125	0,5	0,75	0,875
Е₂	-5			0,333	0,143
Е₃	-6,25	6,125	0,5	0,083	0,018
Е₄	-20	27,477		1,333	0,571
Е₅	-25	24,305		0,333	0,071

3. Анализ содержания таблицы:

1) первый вариант не годен из-за того, что очередь в этом случае будет расти до бесконечности, так как

2) второй вариант хороший по показателю загруженности оборудования АЗС, так как (малая доля простоя) и Е₁ = 0,125, но при этом возникают значительные очереди, так как и Е₃ = 6,125, а также большие средние времена пребывания автомашины на обслуживании Е₄ = 27 мин 48с;

3) третий вариант приводит к тому, что оборудование половину времени простаивает Е₁ = 0,5, но среднее число автомашин в АЗС Е₂ = 1, средние потери времени Е₄ = 4 мин при среднем времени обслуживания Е₃ = 2 мин;

4) в вариантах 4 и 5 очереди фактически нет (вариант 4 , вариант 5 ), но оборудование большую часть времени простаивает (вариант 4 Е₁= 0,75, вариант 5 Е₁ = 0,875). то есть эти варианты мало эффективны и их следует исключить;

5) предварительная рекомендация для ЛПР по результатам анализа может состоять в принятии 3-го варианта, имеющего следующие характеристики Е₁ = 0,5; Е₂ = 1; Е₃ = 0,5; Е₄ = 4; Е₅ = 2.

ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ