I. Типовая СМО состоит из трех частей:
- обслуживания поступающих заявок,
- входного потока заявок на обслуживание,
- очереди в ожидании обслуживания.
Например, надо выбрать один из нескольких конкурирующих вариантов строительства автозаправочной станции (АЗС) с одной бензоколонкой, которая является типичной СМО. Автомашины прибывают на АЗС случайным образом и, если не могут быть обслужены сразу, становятся в очередь. Дисциплина очереди - "первым приехал - первым обслужен".
Пусть статистические наблюдения позволили получить среднее количество автомашин m, обслуживаемых в единицу времени. Обратная величина 1/m определяет среднее время обслуживания одной автомашины. Вероятность того, что обслуживание одной атвомашины в момент t будет завершенно за малый промежуток времени приблизительно равна m ,
m >0. Вероятность того, что обслуживание не закончится 1-m . Тогда плотность распределения времени обслуживания имеет экспоненциальный вид
m exp (- mt), .
Среднее число автомашин, появляющееся на АЗС за единицу времени, то есть интенсивность появления а обратная величина - среднее время появления на АЗС одной автомашины. Вероятность того, что за не прибудет ни одной автомашины .
Из сказанного выше, на основе теории вероятностей, можно сделать два вывода:
1) промежутки времени между двумя последовательными появлениями автомашин удовлетворяют экспоненциальному распределению
2) вероятность того, что за любой, уже достаточно большой период времени Т>> прибудет n автомашин, подсчитывается по формуле
то есть входной поток автомашин на АЗС является пуассоновским.
II. При проектировании АЗС необходимо выполнение условия , ибо в противном случае очередь будет постоянно расти. Если это условие выполненно, то через некоторое время после начала работы АЗС перейдет в стационарный режим, то есть характеристики не будут зависеть от времени.
Нагрузка СМО стационарный режим наступает при и тогда основные её характеристики определяются по формулам:
1. Коэффициент простоя СМО
2. Среднее число клиентов СМО
3. Средняя длина очереди
4. Среднее время пребывания (обслуживания) клиента
5. Время пребывания клиента в очереди
На основании анализа значений приведенных характеристик можно сделать вывод о целесообразности выбора конкретного варианта строительства АЗС.
III. Пример:
1. Исходные данные:
- средний интервал между прибытием автомашин мин,
- варианты строительства АЗС имеют следующие средние времена обслуживания автомашин 1/m: 5 мин; 3,5 мин; 2 мин; 1 мин; 0,5 мин.
2. Используя выражения для и зная значения можно определить величины Е1, Е2, Е3, Е4, Е5 и результат свести в таблицу
Характеристика СМО | Варианты АЗС как СМО | ||||
4 мин | 4 мин | 4 мин | 4 мин | 4 мин | |
0,25 | 0,25 | 0,25 | 0,25 | 0,25 | |
1/ m | 5 мин | 3,5 мин | 2 мин | 1 мин | 0,5 мин |
m | 0,2 | 0,286 | 0,5 | 0,25 | 0,125 |
1,25 | 0,875 | 0,5 | 0,25 | 0,125 | |
Е1 | -0,25 | 0,125 | 0,5 | 0,75 | 0,875 |
Е2 | -5 | 0,333 | 0,143 | ||
Е3 | -6,25 | 6,125 | 0,5 | 0,083 | 0,018 |
Е4 | -20 | 27,477 | 1,333 | 0,571 | |
Е5 | -25 | 24,305 | 0,333 | 0,071 |
3. Анализ содержания таблицы:
1) первый вариант не годен из-за того, что очередь в этом случае будет расти до бесконечности, так как
2) второй вариант хороший по показателю загруженности оборудования АЗС, так как (малая доля простоя) и Е1 = 0,125, но при этом возникают значительные очереди, так как и Е3 = 6,125, а также большие средние времена пребывания автомашины на обслуживании Е4 = 27 мин 48с;
3) третий вариант приводит к тому, что оборудование половину времени простаивает Е1 = 0,5, но среднее число автомашин в АЗС Е2 = 1, средние потери времени Е4 = 4 мин при среднем времени обслуживания Е3 = 2 мин;
4) в вариантах 4 и 5 очереди фактически нет (вариант 4 , вариант 5 ), но оборудование большую часть времени простаивает (вариант 4 Е1 = 0,75, вариант 5 Е1 = 0,875). то есть эти варианты мало эффективны и их следует исключить;
5) предварительная рекомендация для ЛПР по результатам анализа может состоять в принятии 3-го варианта, имеющего следующие характеристики Е1 = 0,5; Е2 = 1; Е3 = 0,5; Е4 = 4; Е5 = 2.
ВАРИАНТЫ ЗАДАЧ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ