Применение метода сеток для решения уравнений КДП и ПВ

Наиболее универсальным методом решения уравнений типа КДП и ПВ является метод сеток. При замене конечными разностями производных всех переменных и соответствующих их преобразованиях получают систему алгебраических уравнений. В качестве примера рассмотрим аппроксимацию уравнения (2.20) для области прямоугольной формы.

Разобьём её по осям координат сеткой с шагом соответственно hx и hу. Производные для точки с координатами xjyk:

, (2.25)

, (2.26)

(j = 1, 2, 3, …, n; k = 1, 2, 3, …, m).

Подставим эти выражения в (2.1.11) и принимая hx = hу = h, получим конечно-разностную аппроксимацию в виде алгебраического уравнения:

После несложных преобразований получим:

. (2.28)

Аналогичные уравнения составляются для каждой точки расчётной области. Очевидно, что в число параметров уравнений в граничных точках войдут известные параметры функции на границе. В результате образуется система из N = n x m линейных алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами и с N числом неизвестных. Совместное решение этих уравнений даёт дискретные значения функции внутри области [6].