Любая матрица суждений в общем случае не согласована, так как суждения отражают субъективные мнения ЛПР, а сравнение элементов, которые имеют количественные эквиваленты, может быть несогласованным из-за присутствия погрешности проведении при проведении измерений. Совершенной согласованности парных сравнений даже в идеальном случае на практике достичь трудно. Нужен способ оценки степени согласованности при решении конкретной задачи.
Метод анализа иерархий дает возможность провести такую оценку.
Вместе с матрицей парных сравнений мы имеем меру оценки степени отклонения от согласованности. Когда такие отклонения превышают установленные пределы тем, кто проводит решение задачи, необходимо их пересмотреть.
В таблице приведены средние значения индекса случайной согласованности (СИ) для случайных матриц суждений разного порядка.
Размер матрицы | Среднее значение индекса случайной согласованности (СИ) |
0.00 | |
0.00 | |
0.58 | |
0.90 | |
1.12 | |
1.24 | |
1.32 | |
1.41 | |
1.45 | |
1.49 | |
1.51 | |
1.48 | |
1.56 | |
1.57 | |
1.59 |
В нашей задаче размерность матрицы n=5, тогда среднее значение индекса случайной согласованности СИ = 1,12.
|
|
Теперь определяем индекс согласованности и отношение согласованности.
Определим индекс согласованности и отношение согласованности для матрицы «цель».
Цель | К 1 | К 2 | К 3 | К 4 | К 5 | W2i |
К 1 | 0,45 | |||||
К 2 | 1/3 | 0,235 | ||||
К 3 | 1/3 | 1/3 | 0,17 | |||
К 4 | 1/5 | 1/3 | 1/3 | 0,1 | ||
К 5 | 1/5 | 1/3 | 1/5 | 1/7 | 0,04 |
Определяется сумма каждого столбца матрицы суждений.
S1 = 1 + 1/3 + 1/3 + 1/5 + 1/5 = 31/15;
S2 = 3 + 1 + 1/3 + 1/3 + 1/3 = 5;
S3 = 3 + 3 + 1 + 1/3 + 1/5 = 113/5;
S4 = 5 + 3 + 3 + 1 + 1/7 = 85/7;
S5 = 5 + 3 + 5 + 7 + 1 = 21.
Затем полученный результат умножается на компоненту нормализованного вектора приоритетов, т.е. сумму суждений первого столбца на первую компоненту, сумму суждений второго столбца - на вторую и т.д.
Р1 = S1 х W21 = 31/15 х 0,45 = 0,93;
Р2 = S2 х W22 = 5 х 0,235 = 1,17;
Р3 = S3 х W23 = 113/5 х 0,17 = 1,28;
Р4 = S1 х W24 = 85/7 х 0,1 = 1,21;
Р5 = S1 х W25 = 21 х 0,04 = 0,84.
Сумма чисел Рj отражает пропорциональность предпочтений, чем ближе эта величина к n (числу объектов и видов действия в матрице парных сравнений), тем более согласованны суждения
λmax = Р1+ Р2+ Р3+ Р4+ Р5 = 0,93 + 1,17 + 1,28 + 1,21 + 0,84 = 5,43.
Отклонение от согласованности выражается индексом согласованности.
ИС = (λmax - n)/(n - 1) = (5,43 - 5)/(5 -1) = 0,1075.
Отношение индекса согласованности ИС к среднему значению случайного индекса согласованности СИ называется отношением согласованности ОС.
ОС = ИС/СИ = 0,1075/1,12 = 0,096.
Значение ОС меньше или равное 0.10 считается приемлемым, значит матрица «цель» согласована.
|
|
Определим индекс согласованности и отношение согласованности для матрицы К 1 (интегрирование в систему «умный дом»);.
К1 | А1 | А2 | А3 | А4 | А5 | W3К1Y |
А1 | 1/2 | 1/3 | 1/9 | 1/9 | 0,034 | |
А2 | 1/3 | 1/9 | 1/9 | 0,045 | ||
А3 | 1/7 | 1/7 | 0,082 | |||
А4 | 0,42 | |||||
А5 | 0,42 |
Определяется сумма каждого столбца матрицы суждений.
S1К1 = 1 + 2 + 3 + 9 + 9 = 24;
S2 К1 = 1/2 + 1 + 3 + 9 + 9 = 22,5;
S3 К1 = 1/3 + 1/3 + 1 + 7 + 7 = 47/3;
S4 К1 = 1/9 + 1/9 + 1/7 + 1 + 1 = 2,37;
S5 К1 = 1/9 + 1/9 + 1/7 + 1 + 1 = 2,37.
Затем полученный результат умножается на компоненту нормализованного вектора приоритетов.
Р1 К1 = S1 х W3К11 = 24 х 0,034 = 0,816;
Р2 К1 = S2 х W3К12 = 22,5 х 0,045 = 1,01;
Р3 К1 = S3 х W3К13 = 47/3 х 0,082 = 1,28;
Р4 К1 = S1 х W3К14 = 2,37 х 0,42 = 0,99;
Р5 К1 = S1 х W3К15 = 2,37 х 0,42 = 0,99.
Находим пропорциональность предпочтений.
λmax К1 = Р1 К1+ Р2 К1+ Р3 К1+ Р4 К1+ Р5 К1 = 0,816 + 1,01 + 1,28 + 0,99 + 0,99 = 5,086.
Отклонение от согласованности выражается индексом согласованности.
ИС К1 = (λmax К1 - n)/(n - 1) = (5,086 - 5)/(5 -1) = 0,0215.
Найдем отношением согласованности ОС.
ОС К1 = ИС/СИ = 0,0215/1,12 = 0,02.
Значение ОС меньше или равное 0.10 считается приемлемым, значит матрица К 1 (интегрирование в систему «умный дом») согласована.
Определим индекс согласованности и отношение согласованности для матрицы К 2 (экономия воды).
К2 | А1 | А2 | А3 | А4 | А5 | W3К2Y |
А1 | 1/5 | 1/9 | 1/9 | 1/9 | 0,024 | |
А2 | 1/9 | 1/9 | 1/9 | 0,047 | ||
А3 | 1/2 | 1/2 | 0,23 | |||
А4 | 0,35 | |||||
А5 | 0,35 |
Определяется сумма каждого столбца матрицы суждений.
S1К2 = 1 + 5 + 9 + 9 + 9 = 33;
S2 К2 = 1/5 + 1 + 9 + 9 + 9 = 28,2;
S3 К2 = 1/9 + 1/9 + 1 + 2 + 2 = 5,2;
S4 К2 = 1/9 + 1/9 + 1/2 + 1 + 1 = 2,7;
S5 К2 = 1/9 + 1/9 + 1/2 + 1 + 1 = 2,7.
Затем полученный результат умножается на компоненту нормализованного вектора приоритетов.
Р1 К2 = S1 х W3 К21 = 33 х 0,024 = 0,79;
Р2 К2 = S2 х W3 К22 = 28,2 х 0,047 = 1,32;
Р3 К2 = S3 х W3 К23 = 5,2 х 0,23 = 1,2;
Р4 К2 = S1 х W3 К24 = 2,7 х 0,35 = 0,95;
Р5 К2 = S1 х W3 К25 = 2,7 х 0,35 = 0,95.
Находим пропорциональность предпочтений.
λmax К2 = Р1 К2+ Р2 К2+ Р3 К2+ Р4 К2+ Р5 К2 = 0,79 + 1,32 + 1,2 + 0,95 + 0,95 = 5,21.
Отклонение от согласованности выражается индексом согласованности.
ИС К2 = (λmax К2 - n)/(n - 1) = (5,21 - 5)/(5 -1) = 0,053.
Найдем отношением согласованности ОС.
ОС К2 = ИС/СИ = 0,053/1,12 = 0,05.
Значение ОС меньше или равное 0.10 считается приемлемым, значит матрица К 2 (экономия воды).согласована.
Определим индекс согласованности и отношение согласованности для матрицы К 3 (бесконтактность).
К3 | А1 | А2 | А3 | А4 | А5 | W3К3Y |
А1 | 1/5 | 1/8 | 1/9 | 1/8 | 0,02 | |
А2 | 1/8 | 1/9 | 1/8 | 0,04 | ||
А3 | 1/2 | 1/2 | 0,12 | |||
А4 | 0,61 | |||||
А5 | 1/7 | 0,2 |
Определяется сумма каждого столбца матрицы суждений.
S1К3 = 1 + 5 + 8 + 9 + 8 = 31;
S2 К3 = 1/5 + 1 + 8 + 9 + 8 = 26,2;
S3 К3 = 1/8 + 1/8 + 1 + 9 + 2 = 12,25;
S4 К3 = 1/9 + 1/9 + 1/2 + 1 + 1/7 = 1,86;
S5 К3 = 1/8 + 1/8 + 1/2 + 7 + 1 = 8,75.
Затем полученный результат умножается на компоненту нормализованного вектора приоритетов.
Р1 К3 = S1 х W3 К31 = 31 х 0,02 = 0,59;
Р2 К3 = S2 х W3 К32 = 26,2 х 0,04 = 1;
Р3 К3 = S3 х W3 К33 = 12,25 х 0,12 = 1,2;
Р4 К3 = S1 х W3 К34 = 1,86 х 0,61 = 1,1;
Р5 К3 = S1 х W3 К35 = 8,75 х 0,2 = 1,55.
Находим пропорциональность предпочтений.
λmax К3 = Р1 К3+ Р2 К3+ Р3 К3+ Р4 К3+ Р5 К3 = 0,59 + 1 + 1,2 + 1,1 + 1,55 = 5,44.
Отклонение от согласованности выражается индексом согласованности.
ИС К3 = (λmax К3 - n)/(n - 1) = (5,44 - 5)/(5 -1) = 0,11.
Найдем отношением согласованности ОС.
ОС К3 = ИС/СИ = 0,11/1,12 = 0,098.
Значение ОС меньше или равное 0.10 считается приемлемым, значит матрица К 3 (экономия воды) согласована.
Определим индекс согласованности и отношение согласованности для матрицы К 4 (вандалоустойчивость)
К4 | А1 | А2 | А3 | А4 | А5 | VК4Y | W3К4Y |
А1 | 1/2 | 1/7 | 1/9 | 1/7 | 0,26 | 0,03 | |
А2 | 1/7 | 1/9 | 1/7 | 0,34 | 0,04 | ||
А3 | 1/7 | 1/2 | 1,3 | 0,15 | |||
А4 | 5,25 | 0,6 | |||||
А5 | 1/7 | 1,7 | 0,19 |
Определяется сумма каждого столбца матрицы суждений.
S1К4 = 1 + 2 + 7 + 9 + 7 = 26;
S2 К4 = 1/2 + 1 + 7 + 9 + 7 = 24,5;
S3 К4 = 1/7 + 1/7 + 1 + 7 + 2 = 10,3;
S4 К4 = 1/9 + 1/9 + 1/7 + 1 + 1/7 = 1,3;
|
|
S5 К4 = 1/7 + 1/7 + 1/2 + 7 + 1 = 8,7.
Затем полученный результат умножается на компоненту нормализованного вектора приоритетов.
Р1 К4 = S1 х W3 К41 = 26 х 0,02 = 0,78;
Р2 К4 = S2 х W3 К42 = 24,5 х 0,04 = 0,8;
Р3 К4 = S3 х W3 К43 = 10,3 х 0,15 = 1,24;
Р4 К4 = S1 х W3 К44 = 1,3 х 0,6 = 0,9;
Р5 К4 = S1 х W3 К45 = 8,7 х 0,19 = 1,6.
Находим пропорциональность предпочтений.
λmax К4 = Р1 К4+ Р2 К4+ Р3 К4+ Р4 К4+ Р5 К4 = 0,78 + 0,8 + 1,24 + 0,9 + 1,6 = 5,32.
Отклонение от согласованности выражается индексом согласованности.
ИС К4 = (λmax К4 - n)/(n - 1) = (5,32 - 5)/(5 -1) = 0,08.
Найдем отношением согласованности ОС.
ОС К4 = ИС/СИ = 0,08/1,12 = 0,07.
Значение ОС меньше или равное 0,10 считается приемлемым, значит матрица К 4 (вандалоустойчивость) согласована.
Определим индекс согласованности и отношение согласованности для матрицы К 5 (стоимость смесителя)
К5 | А1 | А2 | А3 | А4 | А5 | W3К5Y |
А1 | 0,54 | |||||
А2 | 1/5 | 0,28 | ||||
А3 | 1/7 | 1/7 | 0,1 | |||
А4 | 1/8 | 1/8 | 1/5 | 0,05 | ||
А5 | 1/9 | 1/9 | 1/7 | 1/7 | 0,02 |
Определяется сумма каждого столбца матрицы суждений.
S1К5 = 1 + 1/5 + 1/7 + 1/8+ 1/9 = 1,53;
S2 К5 = 5 + 1 + 1/7 + 1/8 + 1/9 = 6,2;
S3 К5 = 7 + 7 + 1 + 1/5 + 1/7 = 15,3;
S4 К5 = 8 + 8 + 5 + 1 + 1/7 = 21,3;
S5 К5 = 9 + 9 + 7 + 7 + 1 = 33.
Затем полученный результат умножается на компоненту нормализованного вектора приоритетов.
Р1 К5 = S1 х W3 К41 = 1,53 х 0,54 = 0,76;
Р2 К5 = S2 х W3 К42 = 6,2 х 0,28 = 1,6;
Р3 К5 = S3 х W3 К43 = 15,3 х 0,1 = 1,4;
Р4 К5 = S1 х W3 К44 = 21,3 х 0,05 = 1;
Р5 К5 = S1 х W3 К45 = 33 х 0,02 = 0,66.
Находим пропорциональность предпочтений.
λmax К5 = Р1 К5+ Р2 К5+ Р3 К5+ Р4 К5+ Р5 К5 = 0,76 + 1,6 + 1,4 + 1 + 0,66 = 5,42.
Отклонение от согласованности выражается индексом согласованности.
ИС К5 = (λmax К5 - n)/(n - 1) = (5,42 - 5)/(5 -1) = 0,105.
Найдем отношением согласованности ОС.
ОС К5 = ИС/СИ = 0,105/1,12 = 0,094.
Значение ОС меньше или равное 0,10 считается приемлемым, значит матрица К 5 (стоимость смесителя) согласована.