Структура и классификация СМО

В зависимости от характера формирования очереди (дисциплины обслуживания) СМО подразделяются на три класса:

1. Системы с отказами (нулевым ожиданием или явными потерями), в которых при занятости всех каналов обслуживания заявка не встает в очередь и покидает систему необслуженной. Чтобы эта заявка все же была обслужена, она должна снова поступить на вход СМО и рассматриваться при этом как заявка, поступившая впервые. Примером СМО с отказами может служить работа АТС.

2. Системы с ожиданием (неограниченным ожиданием или очередью), в которых заявка встает в очередь, если в момент ее поступления все каналы были заняты. Каждая заявка, поступившая на вход, в конце концов, будет обслужена. Такие СМО часто встречаются в торговле, в сфере бытового и медицинского обслуживания.

3. СМО смешанного типа (ограниченным ожиданием). Это такие системы, в которых на пребывание заявки в очереди накладываются некоторые ограничения. Эти ограничения могут накладываться на длину очереди, то есть максимально возможное число заявок, которые могут одновременно находиться в очереди. Ограничения могут касаться также и времени пребывания заявки в очереди, по истечении которого она выходит из очереди и покидает СМО, или общего времени пребывания в СМО (включая и время обслуживания).

По ограничению потока заявок СМО делятся на замкнутые и открытые (разомкнутые). СМО является замкнутой, если поток заявок ограничен и заявки, покинувшие систему, могут в нее возвращаться, в противном случае – открытой. Классическим примером замкнутой системы является работа группы наладчиков станков в цеху. После проведения ремонтных работ, вышедший из строя станок снова становится источником заявок на обслуживание. Примером разомкнутой системы служит, например, ателье по ремонту телевизоров. Здесь неисправные телевизоры являются источником требований на их обслуживание и находятся вне самой системы.

В зависимости от характера потоков СМО можно разделить на марковские и намарковские. Под марковской СМО понимается система, в которой все потоки событий, переводящие ее из одного состояния в другое – пуассоновские. При этом случайный процесс, характеризующий поток заявок и длительность их обслуживания называется марковским случайным процессом. Пуассоновский поток заявок называется еще простейшим и обладает следующими свойствами: стационарности, ординарности и отсутствия последействия.

Стационарность характеризуется тем, что вероятность поступления определенного количества требований (заявок) в течение некоторого промежутка времени зависит только от длины этого промежутка. Ординарность потока определяется невозможностью одновременного поступления двух или более заявок. Отсутствие последействия характеризуется тем, что поступление заявки не зависит от того, когда и сколько заявок поступило до этого момента времени. В этом случае вероятность того, что число заявок, поступивших на обслуживание за промежуток времени , равно , определяется по закону Пуассона:

,

где - интенсивность потока заявок, то есть среднее число заявок, поступающих в единицу времени: , где - среднее значение интервала времени между двумя соседними заявками.

Случайное время ожидания в очереди начала обслуживания считают распределенным экспоненциально:

,

где - интенсивность движения очереди, то есть среднее число заявок, приходящих на обслуживание в единицу времени: , где - среднее значение времени ожидания в очереди.

Если хотя бы один из потоков не является пуассоновским, то СМО называется немарковской.

По числу каналов СМО подразделяются, как уже отмечалось выше, на одноканальные (когда в системе имеется только один канал) и многоканальные или - канальные (когда количество каналов ). Будем полагать, что каждый канал может обслуживать одновременно только одну заявку, и каждая заявка обслуживается только одним каналом. Многоканальные СМО могут состоять из однородных каналов, или из разнородных, отличающихся продолжительностью обслуживания одной заявки.

Выходящий поток заявок связан с потоком обслуживания в канале, где продолжительность обслуживания является случайной величиной и часто подчиняется показательному закону распределения с плотностью распределения вероятностей:

,

где - интенсивность потока обслуживания, то есть среднее число заявок, обсуживаемых в единицу времени: , где - среднее время обслуживания. При условии абсолютной однородности поступающих заявок и каналов обслуживания, время обслуживания может быть и постоянной величиной (). Важной характеристикой СМО, объединяющей и , является также интенсивность нагрузки:

.

Эта величина представляет собой среднее число заявок, приходящих в СМО, за среднее время обслуживания одной заявки.

По количеству этапов обслуживания СМО подразделяются на однофазные и многофазные. Если каналы СМО однородны, то есть выполняют одну и туже операцию обслуживания, то такие СМО называются однофазными. Если каналы расположены последовательно и они неоднородны, так как выполняют различные операции обслуживания, то СМО называется многофазной, например, обслуживание автомобилей на станции технического обслуживания (мойка, диагностика и т.д.). Далее будем рассматривать только однофазные СМО.

Перейдем теперь к рассмотрению конкретных систем массового обслуживания различных видов.