Понятие о софизмах и логических парадоксах

Непреднамеренная ошибка, допущенная человеком в мышле­нии, называется паралогизмом. Паралогизмы допускают мно­гие люди. Преднамеренная ошибка с целью запутать своего противника и выдать ложное суждение за истинное называется

_____________________

'Страны иматерики. М., 1981. С. 79- 82.

софизмом. Софистами называют людей, которые ложь пыта­ются выдать за истину путем различных ухищрений.

В математике имеются математические софизмы. В кон­це XIX - начале XX в. большой популярностью среди учащих­ся пользовалась книга В. И. Обреимова “Математические софизмы”, в которой собраны многие софизмы. И в ряде совре­менных книг собраны интересные математические софизмы'. Например, Ф. Ф. Нагибин формулирует следующие матема­тические софизмы:

1) “5 = 6”;

2) “2 • 2 = 5”;

3) “2 = 3”;

4) “Все числа равны между собой”;

5) “Любое число равно половине его”;

6) “Отрицательное число равно положительному”;

7) “Любое число равно нулю”;

8) “Из точки на прямую можно опустить два перпендикуляра”;

9) “Прямой угол равен тупому”;

10) “Всякая окружность имеет два центра”;

11) “Длины всех окружностей равны” и многие другие. 2*2=5. Требуется найти ошибку в следующих рассужде­ниях. Имеем числовое тождество: 4:4=5:5. Вынесем за скобки в каждой части этого тождества общий множитель. Получим 4(1: 1) = 5(1: 1). Числа в скобках равны. Поэтому 4 =5, или 2 *2=5.

5 =1. Желая доказать, что 5 = 1, будем рассуждать так. Из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно и то же число 3. Полу­чим числа 2 и -2. При возведении в квадрат этих чисел получа­ются равные числа 4 и 4. Значит, должны быть равны и исход­ные числа 5 и 1. Где ошибка?²

Понятие о логических парадоксах

Парадокс - это рассуждение, доказывающее как истинность, так и ложность некоторого суждения или (иными словами) до­казывающее как это суждение, так и его отрицание. Парадоксы

_________________________

'См:-.БрадисВ,. Минковский В., ХарчевА. Ошибки в математических рассу­ждениях. М., 1959; Нагибин Ф. Ф. Математическая шкатулка. М„ 1964.

²Сm.: Нагибин Ф.Ф. Математическая шкатулка. М., 1964. С. 81-82.

были известны еще в древности. Их примерами являются: “Куча”, “Лысый”, “Каталог всех нормальных каталогов”, “Мэр города”, “Генерал и брадобрей” и др. Рассмотрим некоторые из них.

Парадокс “Куча”. Разница между кучей и не-кучей - не в одной песчинке. Пусть у нас есть куча (например, песка). Начи­наем из нее брать каждый раз по одной песчинке, и куча остает­ся кучей. Продолжаем этот процесс. Если 100 песчинок - куча, то 99 - тоже куча и т. д. 10 песчинок - куча, 9 - куча,... 3 песчин­ки - куча, 2 песчинки - куча, 1 песчинка - куча. Итак, суть пара­докса в том, что постепенные количественные изменения (убав­ление на 1 песчинку) не приводят к качественным изменениям.

Парадокс “Лысый” аналогичен парадоксу “Куча”, т. е. раз­ница между лысым и не-лысым не в одной волосинке.