Решение. Электрон в водородоподобном атоме двигается по круговой орбите, поэтому кулоновская сила взаимодействия электрона и ядра является центростремительной силой

Электрон в водородоподобном атоме двигается по круговой орбите, поэтому кулоновская сила взаимодействия электрона и ядра является центростремительной силой, то есть

где z – номер элемента, е – заряд электрона, Кл, r – радиус орбиты, u – скорость электрона на орбите, e₀– электрическая постоянная, m – масса электрона, m=9,110^-31 кг.

По второму постулату Бора момент импульса электрона на любой орбите удовлетворяет условие: ,

где n – номер орбиты, h – стала Планка, h=6.6310^-34 ×Дж·с, r, u – соответственно радиус орбиты и скорость электрона на ней.

Решим систему уравнений:

разделим первое уравнение на второе и получим:

или ,

по условию задачи z=2, n=1.

Соответственно:

u = = ,

рассчитаем:

По второму постулату Бора определим радиус орбиты:

Соответственно:

, если n=1, то ,

рассчитаем:

(м).

Ответ: , м.

Пример № 2. Определить, какое количество ядер радиоактивного препарата , взятого в количестве 0,2мг, распадается в течение: а) 2с; б) 1ч.

Дано:

	Решение: Число нераспавшихся радиоактивных ядер за время вычисляется по формуле: , (1) где - исходное число ядер в момент времени t=0; - постоянная радиоактивного распада.
	Тогда число распавшихся ядер за время будет равно: (2)

Постоянная радиоактивного распада связана с периодом полураспада Т соотношением: . Число радиоактивных ядер в данной массе вещества вычисляется с помощью закона Авогадро: , (3)

где - масса одного моля; -масса вещества; - число Авогадро.

С учетом значения и формула (2) примет вид: (4).

Если время распада t значительно меньше периода полураспада Т(t<<T), получим: (5). Число распавшихся за время распада ядер вычисляется по формуле (5). Подставим числовые данные и определим . Для второго промежутка времени нельзя применить приближенную формулу (5), так как , поэтому вычисление распавшегося числа атомов произведем по формуле (4):

Ответ:

Пример № 3. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра .

Дано:

	Решение: Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных протонов и нейтронов, из которых состоят ядра.
	Дефект массы ядра определяется разностью суммы масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра: , (1)

где - порядковый номер элемента (число протонов в ядре); А – массовое число (число нуклонов в ядре); – соответственно масса протона, нейтрона и ядра. Так как в справочных таблицах приводятся массы нейтральных атомов, а не ядер, то дефект массы вычислим по формуле:

. (2)

Так как = , где m - масса изотопа водорода , то формула (2) примет вид: (3)

Подставим в выражение (3) числовые данные и вычислим

В соответствии с законом взаимосвязи массы и энергии, Дж

, (4)

где - энергия связи, численно равная работе, которую необходимо затратить, чтобы разделить ядро на отдельные, не взаимодействующие между собой частицы без сообщения им кинетической энергии; - дефект массы ядра; с – скорость света в вакууме.

Так как дефект массы выражен во внесистемных единицах (а.е.м.), то энергия связи ядра: МэВ(5)

Подставим в формулу (5) числовое значение дефекта массы и вычислим (МэВ).

Ответ: МэВ

Пример№ 4. Найти удельную энергию связи нуклонов в ядрах и . Ядро какого элемента наиболее устойчиво?

Дано:

	Решение: Удельная энергия связи нуклонов в ядре – это энергия связи, приходящаяся на один нуклон. Удельная энергия связи может быть вычислена по формуле , (1)
	где – энергия связи нуклонов в ядре, равная ; A- массовое число, указывающее на число нуклонов в ядре; - дефект массы нуклонов в ядре; с² =931,5 Мэв/а.е.м. – скорость света в вакууме во внесистемных единицах.

Если дефект массы выразить в атомных единицах массы, то энергия связи нуклонов в ядре может быть вычислена по формуле, МэВ

МэВ. (2)

Дефект массы ядра определяется разностью масс свободных нуклонов и массой ядра: (3), где Z – число протонов в ядре – порядковый номер элемента; (А-Z) – число нейтронов в ядре; – соответственная масса протона, нейтрона и ядра элемента. В справочных таблицах приводятся массы не ядер, а нейтральных атомов, поэтому преобразуем формулу (3) так, чтобы пользоваться массой нейтрального атома

(4), где - масса изотопа атома водорода.

Подставим формулу (4) в (2) и полученное выражение в формулу (1), получим формулу для расчета удельной энергии связи

. (5)

Подставим числовые данные и вычислим удельную энергию связи:

Так как удельная энергия связи нуклонов в ядре кобальта больше удельной энергии связи ядра урана, то более устойчиво ядро кобальта.

Ответ: Устойчивее ядро кобальта.

Пример № 5. Вычислить в мегаэлектроновольтах энергию ядерной реакции

. Выделяется или поглощается энергия при этой реакции?

Дано:

	Решение: Чтобы вычислить энергию ядерной реакции необходимо знать дефект массы реакции , так как , где с – скорость света. Если выражать в а.е.м., формула примет вид:
	. (1)

Дефект массы: . (2)

Так как число электронов до и после реакции сохраняется, вместо значений масс ядер воспользуемся значениями масс нейтральных атомов:

Реакция протекает с выделением энергии, так как >0. Подставив значение в (1), получим

. Реакция экзотермическая.

Ответ: . Реакция экзотермическая.

3.3. Базовые задачи для самостоятельного решения

1. Определить энергию фотона, соответствующего второй линии в первой инфракрасной серии Пашена спектра атома водорода.

Ответ:

2. Найти энергию ионизации атома водорода(минимальную энергию, необходимую чтобы оторвать электрон от атома)

Ответ:

3. Найти отношение длин волн вторых по порядку спектральных линий серии Бальмера и Пашена.

Ответ: 2,64

4. Вычислить для иона радиус первой боровской орбиты и скорость электрона на ней

Ответ: Z=26,5 пм;

5. Вычислить с помощью закона Мозли длину волны - линии алюминия и кобальта. (Постоянную экранирования для К-серии считать равной единице).

Ответ:

6. Определить коротковолновую границу сплошного спектра рентгеновского излучения, если рентгеновская трубка работает под напряжением 30 кВ

Ответ: 41пм

7. При каком наименьшем напряжении на рентгеновской трубке начинают появляться линии К-серии меди?

Ответ: 8кВ

8. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра .

Ответ:

9. При соударении -частицы с ядром бора произошла ядерная реакция, в результате которой образовалось 2 новых ядра. Одним из этих ядер было ядро атома водорода . Определить порядковый номер и массовое число второго ядра, определить энергетический эффект протекающей ядерной реакции.