Решить игру - это значит определить оптимальные стратегии ее участников, считая, что каждый из них действует наилучшим для себя образом.
1. Прежде всего воспользуемся тем фактом, что если к каждому элементу платежной матрицы прибавить одно и то же число C, то это не поменяет набора оптимальных стратегий игроков, а лишь увеличит цену игры на C. Это свойство позволяет любую платежную матрицу преобразовать к матрице с неотрицательными элементами.
Очевидно, в нашем случае удобно взять C=7. Преобразованная платежная матрица примет вид:
Стратегии 1 игрока | Стратегии 2-го игрока | ||
B1 | B2 | B3 | |
A1 | |||
A2 | |||
A3 |
2. Нижней ценой игры v1 называется наилучший из наихудших платежей 1-го игрока.
Таким образом, для определения нижней цены игры v1 необходимо определить минимальные платежи в каждой строке платежной матрицы, а затем выбрать из них наибольший.
Стратегия 1-го игрока, соответствующая нижней цене игры v1, называется максиминной. Она гарантирует 1-му игроку при любом поведении 2-го игрока выигрыш, не меньший, чем v1.
|
|
3. Верхней ценой игры v2 называется наилучший из наихудших платежей 2-го игрока.
Таким образом, для определения верхней цены игры v2 необходимо определить максимальные платежи в каждом столбце платежной матрицы, а затем выбрать из них наименьший.
Стратегия 2-го игрока, соответствующая нижней цене игры v2, называется минимаксной. Она гарантирует 2-му игроку при любом поведении 1-го игрока проигрыш, не больший, чем v2.
4. Как доказывается в теории игр и статистических решений, всегда выполняется следующее неравенство .
Если для игры имеет место равенство , то такая игра называется игрой с седловой точкой, а v называется ценой игры. В этом случае максиминная стратегия является оптимальной для 1-го игрока, а минимаксная — для 2-го игрока.
5. Применяя изложенные выше правила к преобразованной платежной матрице, получаем:
Стратегии 1-го игрока | Стратегии 2-го игрока | min по строке | |||
B1 | B2 | B3 | |||
A1 | |||||
A2 | |||||
A3 | |||||
max по столбцу | |||||
Таким образом, . Это и есть цена преобразованной игры. Цена исходной игры
Ответ: оптимальной стратегией для 1-го игрока является стратегия A2, для 2-го игрока— B2. Цена игры .