Основные теоретические сведения. Силы тяготения. Гравитационное поле

Силы тяготения. Гравитационное поле

Силами тяготения мы называем результат гравитационных взаимодействий, которые описываются законом всемирного тяготения, открытым Ньютоном.

Материальные точки притягиваются друг к другу с силами, пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними (рис. 1):

(1)

Рис. 1. Гравитационное взаимодействие

Коэффициент пропорциональности G называется гравитационной постоянной. Она характеризует интенсивность гравитационного взаимодействия (численно равна силе притяжения двух точечных масс по 1 кг, находящихся на расстоянии 1 м друг от друга) и является одной из основных физических констант. В единицах системы СИ ее величина равна:

G = 6,673·10^-11H·м²/кг² = 6,673·10^-11м³/(кг·с²).

Формула (1) дает только величину силы взаимодействия двух точечных тел. На самом деле речь идет о двух силах, с которыми по третьему закону Ньютона действуют тела друг на друга. Силы равны по величине (1) и направлены навстречу друг к другу по прямой, соединяющей эти тела. Такие силы называются центральными.

Можно показать, что однородные тела, имеющую сферическую форму (даже если их размеры не малы по сравнению с расстоянием между ними), также притягиваются с силами, определяемыми формулой (1), в этом случае r – это расстояние между центрами сфер, как показано на рис. 1.

Любое тело создает вокруг себя гравитационное поле, т.е. наделяет окружающее пространство определенными свойствами: любое другое тело, находящееся в этом поле, испытывает воздействие (силу) со стороны этого поля. Следовательно, характеристикой поля, создаваемого массой m₁ в данной точке пространства, является отношение силы (1) к величине массы m₂. В общем случае это отношение имеет вид:

g = F/m (2)

и называется напряженностью гравитационного поля в данном месте. Напряженность – векторная характеристика поля; она направлена (так как

m> 0) туда же, куда и сила притяжения F – т.е. в сторону тела массой m₁ - тела, которое создает это поле. Численно напряженность равна силе, действующей на “пробное” точечное тело с единичной массой, помещенное в данную точку поля. Размерность напряженности поля совпадает с размерностью ускорения – в системе единиц СИ она равна Н/кг = м/с².

Если нам известна напряженность g(r) гравитационного поля в любой точке пространства r, то, как это следует из формулы (2), мы можем вычислить силу, которая будет действовать на точечное тело массой m, помещенное в данную точку поля:

F(r) = mg(r). (3)

Природа гравитационного поля раскрывается в общей теории относительности Эйнштейна и является свойством пространства-времени, появляющимся в присутствии материи. Этим свойством является неевклидовость метрики (геометрии) пространства-времени, и материальным носителем тяготения является пространство-время. Тот факт, что гравитацию можно рассматривать как проявление свойств геометрии четырёхмерного неевклидова пространства, это есть следствие того, что все тела в поле тяготения получают одинаковое ускорение («принцип эквивалентности» Эйнштейна). Пространство-время при таком подходе приобретает физические атрибуты, которые влияют на физические объекты и сами зависят от них.

Исследование гравитационного поля имеет важное общенаучное и прикладное значение. Так, гравитационное поле Земли — это силовое поле, обусловленное притяжением масс Земли и центробежной силой, которая возникает вследствие суточного вращения Земли; оно незначительно зависит также от притяжения Луны и Солнца и других небесных тел и масс земной атмосферы. Гравитационное поле Земли характеризуется силой тяжести, потенциалом силы тяжести и различными его производными. Потенциал имеет размерность м²•с^-2, за единицу измерения первых производных потенциала (в т.ч. силы тяжести) в гравиметрии принят миллигал (мГал), равный 10^-5 м•с^-2, а для вторых производных — этвеш, равный 10^-9•с^-2.

Гравитационное поле Земли в совокупности с другими геофизическими данными используется для изучения модели радиального распределения плотности Земли. По нему делаются выводы о гидростатическом равновесном состоянии Земли и о связанных с этим напряжениях в её недрах. По наблюдениям приливных вариаций силы тяжести изучают упругие свойства Земли.

Параметры гравитационного поля Земли используется при расчёте орбит искусственных спутников Земли и траекторий движения ракет. По аномалиям гравитационного поля Земли изучают распределение плотностных неоднородностей в земной коре и верхней мантии, проводят тектоническое районирование, поиски месторождений полезных ископаемых с помощью разведки. Гравитационное поле Земли используется для вывода ряда фундаментальных постоянных геодезии, астрономии и геофизики. Для исследования гравитационного поля Земли применяются различные приборы, в том числе устройства на основе маятников.

Физический маятник

Физический маятник представляет собой твердое тело массой m, совершающее колебания вокруг неподвижной оси под действием силы тяжести(рис.2).

Рис.2 Физический маятник

Такие колебания возможны, если точка подвеса O не совпадает с центром инерции тела С. При отклонении маятника на угол момент силы тяжести стремится вернуть маятник в положение равновесия:

, (4)

где - радиус-вектор, проведенный из точки подвеса O в точку приложения силы тяжести С.

Модуль момента силы тяжести равен:

. (5)

Знак «-» обусловлен тем, что вектор направлен в точке O перпендикулярно плоскости рисунка «от нас», а вектор углового смещения - «на нас».

На основании закона динамики вращательного движения имеем: , где угловое ускорение , J – момент инерции физического маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса O.

Обозначив r через d и учтя, что для малых углов , получим дифференциальное уравнение относительно угла отклонения маятника:

. (6)

Разделив полученное уравнение на и обозначив , представим данное уравнение в форме

. (7)

Решением этого уравнения является гармоническая функция

, (8)

где - амплитуда колебаний, - начальная фаза колебаний,

- циклическая частота колебаний:

. (9)

Следовательно, физический маятник, отклоненный на малый угол от положения равновесия, совершает гармонические колебания.

Так как , то для периода колебаний физического маятника получаем следующую формулу:

, (10)

где J - момент инерции физического маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса O, d - расстояние от точки подвеса O до центра инерции С.

Следовательно, период гармонических колебаний физического маятника зависит от момента инерции маятника J и ускорения свободного падения . Обозначим

. (11)

Величина называется приведенной длиной физического маятника, под которой понимается длина такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника. Тогда период колебаний физического маятника можно записать следующим образом: