2015-03-20
2217
Мы снова будем говорить в этой главе о гармоническом осцилляторе, особенно об осцилляторе. на который действует внешняя сила. Для анализа этих задач нужно развить новую технику. В предыдущей главе мы ввели понятие комплексного числа, которое состоит из действительной и мнимой частей и которое можно изобразить на графике. Действительная часть числа будет изображаться абсциссой, а мнимая - ординатой. Комплексное число 
можно записать в виде 
; при такой записи индекс 
отмечает действительную часть , а индекс 
- мнимую. Взглянув на рис. 23.1, легко сообразить, что комплексное число 
можно записать и так: 
, где 
(
- это комплексно сопряженное к число; оно получается из изменением знака ). Итак, комплексное число можно представить двумя способами: явно выделить его действительную и мнимую части или задать его модулем и фазовым углом 
. Если заданы и , то 
и 
равны 
и 
, и, наоборот, исходя из числа 
, можно найти 
и угол ; 
равен 
(т. е. отношению мнимой и действительной частей).
Рис. 23.1. Комплексное число, изображенное точкой на «комплексной плоскости».
|
|
|
Чтобы применить комплексные числа к решению физических задач, проделаем такой трюк. Когда мы изучали осциллятор, то имели дело с внешней силой, пропорциональной 
. Такую силу 
можно рассматривать как действительную часть комплексного числа 
, потому что 
. Такой переход удобен: ведь иметь дело с экспонентой легче, чем с косинусом. Итак, трюк состоит в том, что все относящиеся к осциллятору функции рассматриваются как действительные части каких-то комплексных функций. Найденное нами комплексное число 
, разумеется, не настоящая сила, ибо физика не знает комплексных сил: все силы имеют только действительную часть, а мнимой части взяться просто неоткуда. Тем не менее мы будем говорить «сила» 
, хотя надо помнить, что речь идет лишь о действительной ее части.
Рассмотрим еще один пример. Как представить косинусоидальную волну, фаза которой сдвинулась на 
? Конечно, как действительную часть 
; экспоненту в этом случае можно записать в виде 
. Алгебра экспонент гораздо легче алгебры синусов и косинусов; вот почему удобно использовать комплексные числа. Часто мы будем писать так:
. (23.1)
Шляпка над буквой будет указывать, что мы имеем дело с комплексным числом, т. е.
.
Однако пора начать решать уравнения, используя комплексные числа, тогда мы увидим, как надо применять комплексные числа в реальных обстоятельствах. Для начала попытаемся решить уравнение
, (23.2)
где - действующая на осциллятор сила, а - его смещение. Хотя это и абсурдно, предположим, что и - комплексные числа. Тогда состоит из действительной части и умноженной на мнимой части; то же самое касается и . Уравнение (23.2) в этом случае означает
|
|
|
или
.
Комплексные числа равны, когда равны их действительные и мнимые части; следовательно, действительная часть удовлетворяет уравнению, в правой части которого стоит действительная часть силы. Оговорим с самого начала, что такое разделение действительных и мнимых частей возможно не всегда, а только в случае линейных уравнений, т. е. уравнений, содержащих лишь в нулевой и первой степенях. Например, если бы уравнение содержало член 
, то, сделав подстановку 
, мы получили бы 
, и выделение действительной и мнимой частей привело бы нас к 
и 
. Итак, мы видим, что действительная часть уравнения содержит в этом случае член 
. Мы получили совсем не то уравнение, какое собирались решать.
Попытаемся применить наш метод к уже решенной задаче о вынужденных колебаниях осциллятора, т. е. об осцилляторе, на который действует внешняя сила. Как и раньше, мы хотим решить уравнение (23.2), но давайте начнем с уравнения
, (23.3)
где 
- комплексное число. Конечно, - тоже комплексное число, но запомним правило: чтобы найти интересующие нас величины, надо взять действительную часть . Найдем решение (23.3), описывающее вынужденные колебания. О других решениях поговорим потом. Это решение имеет ту же частоту, что и внешняя (приложенная) сила. Колебание, кроме того, характеризуется амплитудой и фазой, поэтому если представить смещение числом 
, то модуль его скажет нам о размахе колебаний, а фаза комплексного числа - о временной задержке колебания. Воспользуемся теперь замечательным свойством экспоненты: 
. Дифференцируя экспоненциальную функцию, мы опускаем вниз экспоненту, делая ее простым множителем. Дифференцируя еще раз, мы снова приписываем такой же множитель, поэтому очень просто написать уравнение для : каждое дифференцирование по времени надо заменить умножением на 
. (Дифференцирование становится теперь столь же простым, как и умножение! Идея использовать экспоненциальные функции в линейных дифференциальных уравнениях почти столь же грандиозна, как изобретение логарифмов, которые заменили умножение сложением. Здесь дифференцирование заменяется умножением.) Таким образом, мы получаем уравнение
. (23.4)
[Мы опустили общий множитель 
.] Смотрите, как все просто! Дифференциальное уравнение немедленно сводится к чисто алгебраическому; сразу же можно написать его решение
,
поскольку 
. Решение можно несколько упростить, подставив 
, тогда
. (23.5)
Это, конечно, то же самое решение, которое уже было нами получено ранее. Поскольку 
- действительное число, то фазовые углы 
и совпадают (или отличаются на 180°, если 
). Об этом тоже уже говорилось. Модуль , который определяет размах колебаний, связан с модулем множителем 
; этот множитель становится очень большим, если 
приближается к 
. Таким образом, можно достичь очень сильного отклика, если приложить к осциллографу нужную частоту (если с нужной частотой толкать подвешенный на веревочке маятник, то он поднимается очень высоко).
