Числовые ряды

ГЛАВА 8. РЯДЫ.

Выражение вида , где - последовательность чисел, называется числовым рядом и обозначатся . Ряд называется остатком -ого порядка исходного ряда и обозначается . Сумма первых членов ряда называется -ой частичной суммой ряда.

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел и расходящимся, если предел не существует. Число называется суммой сходящегося ряда, при этом пишут . Одновременно с рядом сходится и расходится его остаток . В случае сходящегося ряда его остаток записывают в виде .

Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если прибавить или отбросить конечное число его членов.

Если ряд сходится, то (необходимый признак сходимости ряда). Обратное утверждение неверно.

Если , то ряд расходится (достаточный признак расходимости ряда).

Признак сравнения. Если для рядов и , начиная с некоторого , для всех выполняется условие , то из сходимости ряда следует сходимость ряда , из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Предельный признак сравнения. Еслисуществует конечный и отличный от нуля предел (в частности, если ~ при ), то ряды и (, начиная с некоторого ) сходятся или расходятся одновременно.

Для применения признаков сравнения необходимо наличие «эталонных» рядов, сходимость или расходимость которых известна. В качестве «эталонных» рядов широко используются: 1) обобщённый гармонический ряд , который сходится при и расходится при ; 2) геометрический ряд , который сходится при , при этом его сумма равна и расходится при . Таким образом, для применения признаков сравнения нужно найти последовательность или , где - некоторые числа, такую, что ~ или ~ при .

Полезно иметь в виду эквивалентности (при , ):

~ ~ ~ ~ ~ ,

~ ,

а также оценки (), имеющие место, начиная с некоторого , для всех .

В задачах 8.1-8.9 показать, что следующие ряды сходятся, и найти их суммы:

8.1 . 8.2 . 8.3 .

8.4 . 8.5 . 8.6 .

8.7 . 8.8 . 8.9 .

В задачах 8.10-8.18 используя необходимый признак сходимости ряда, установить расходимость следующих рядов:

8.10 . 8.11 . 8.12 .

8.13 . 8.14 . 8.15 .

8.16 . 8.17 . 8.18 .

В задачах 8.19-8.46 используя признаки сравнения, исследовать на сходимость следующие ряды:

8.19 . 8.20 . 8.21 .

8.22 . 8.23 . 8.24 .

8.25 . 8.26 . 8.27 .

8.28 . 8.29 . 8.30 .

8.31 . 8.32 .

8.33 . 8.34 .

8.35 . 8.36 . 8.37 .

8.38 . 8.39 . 8.40 .

8.41 . 8.42 . 8.43 .

8.44 . 8.45 . 8.46 .

Признак Даламбера. Если для ряда ( начиная с некоторого ) , то ряд сходится при и расходится при . Если , то ряд может сходится или расходится; в этом случае его сходимость исследуется с помощью других признаков.

В задачах 8.47-8.62 используя признак Даламбера, исследовать сходимость следующих рядов:

8.47 . 8.48 . 8.49 . 8.50 . 8.51 . 8.52 . 8.53 . 8.54 . 8.55 . 8.56 . 8.57 . 8.58 .

8.59 . 8.60 .

8.61 . 8.62 .

Признак Коши (радикальный). Если для ряда ( начиная с некоторого ) , то ряд сходится при и расходится при . Если , то ряд может сходится или расходится; в этом случае его сходимость исследуется с помощью других признаков.

При применении признака Коши полезно иметь в виду, что: , , , где - многочлен порядка относительно .

В задачах 8.63-8.74 используя радикальный признак Коши, исследовать сходимость следующих рядов:

8.63 . 8.64 . 8.65 .

8.66 . 8.67 . 8.68 . 8.69 . 8.70 . 8.71 . 8.72 . 8.73 . 8.74 .

Интегральный признак Коши. Если , где функция положительна, монотонно убывает и непрерывна при , то ряд и интеграл сходятся или расходятся одновременно.

В задачах 8.75-8.80 используя интегральный признак Коши, исследовать сходимость следующих рядов:

8.75 . 8.76 . 8.77 .

8.78 . 8.79 . 8.80 .

В задачах 8.81-8.100 исследовать сходимость рядов:

8.81 . 8.82 . 8.83 .

8.84 . 8.85 . 8.86 .

8.87 . 8.88 .

8.89 . 8.90 . 8.91 .

8.92 . 8.93 . 8.94

8.95 . 8.96 8.97

8.98 . 8.99 . 8.100 .

Ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд сходится. Сходящийся ряд называется условно сходящимся, если ряд расходится.

Сумма абсолютно сходящегося ряда не изменяется при перестановке членов ряда. Сумму условно сходящегося ряда путём перестановки его членов можно сделать равной любому числу.

Если ряд абсолютно сходится, то он является сходящимся (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда).

Для исследования ряда на абсолютную сходимость используют известные признаки сходимости знакоположительных рядов. В частности, ряд сходится абсолютно, если или . В общем случае из расходимости ряда не следует расходимость ряда . Но если или , то расходится не только ряд , но и ряд .

Ряд называется знакочередующимся, если все его соседние члены имеют разные знаки.

Признак Лейбница. Если для знакочередующегося ряда () выполнены условия: 1) (может начать выполняться начиная с некоторого ); 2) , то знакочередующийся ряд сходится (по крайней мере условно). Для остатка ряда в этом случае справедлива оценка .

Сумму знакочередующегося ряда с заданной степенью точности вычисляют по приближённой формуле , где - минимальный из номеров , для которых .

В задачах 8.101-8.120 исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие ряды:

8.101 . 8.102 . 8.103 .

8.104 8.105 8.106 .

8.107 8.108 8.109 .

8.110 . 8.111 .

8.112 . 8.113 . 8.114 .

8.115 . 8.116 . 8.117 .

8.118 . 8.119 . 8.120 .

В задачах 8.121-8.124 вычислить сумму ряда с точностью до . Сколько членов ряда следует для этого взять?

8.121 8.122 8.123 8.124 .