Эквивалентирование схем электрических сетей

Эквивалентирование широко применяется в расчетах режимов сложных электроэнергетических систем. Так, рассматривая режимы работы отдельной ЭЭС, все соседние энергосистемы представляем их эквивалентами, полученными на основании так называемых критериев эквивалентности. Число таких критериев и их содержание зависят от задачи, применительно к которой выполняется эквивалентирование.

Рассмотрим ЭЭС, состоящую из двух подсистем: подсистемы I, которая не подлежит преобразованию, и подсистемы II, которую следует преобразовать в эквивалент (рис. 3.12, а).

Рис. 3.12. Условное изображение ЭЭС с эквивалентируемой частью:

а – до эквивалентирования; б – после эквивалентирования

Узлы, в которых соединяются две подсистемы, называются узлами примыкания, а ветви, подходящие к ним со стороны сохраняемой части схемы, – ветвями примыкания. После преобразования подсистемы II в ней могут сохраниться некоторые узлы, имеющие принципиальное значение для режимов системы, или не сохраниться ни одного узла, как на рис. 3.12, б, и вся схема эквивалента представляет собой многоугольник, построенный на узлах примыкания 1, 2,…, p. Следует отметить, что эквивалент имеет также поперечные ветви на нейтральную плоскость системы как пассивные – проводимости, так и активные – задающие мощности нагрузки и генерации (на рис. 3.12 не показаны).

Рассчитанные напряжения в узлах примыкания эквивалента должны быть равны в исходной схеме и после ее преобразования.

Потоки мощности в ветвях примыкания эквивалента должны быть равны в исходной схеме и после ее преобразования.

(3.53)

где a – множество номеров узлов примыкания;

b – множество номеров узлов в непреобразуемой части сети, имеющих смежную ветвь с узлами примыкания.

Добиться выполнения критериев эквивалентности можно, как правило, для какого-то одного режима работы электрической сис-темы.

Изменение режима требует и изменения (корректировки) эквивалента.

Рассмотрим пример эквивалентирования части электрической схемы сети (рис. 3.13, а). В этом примере: множество номеров узлов примыкания (a) = {4, 7, 11}; множество номеров узлов из неэквивалентируемой части схемы, смежных с узлами примыкания (б) = {3, 6, 10}.

Исключаемые узлы: {12, 13, 14, 15, 16}.

а

б

Рис. 3.13. Граф сети с эквивалентируемой частью:

а – до эквивалентирования; б – после эквивалентирования

В данном примере в эквиваленте не сохранено ни одного узла и граф эквивалента представляет собой многоугольник, опирающийся вершинами на узлы примыкания (рис. 3.14).

По сути – это последовательно-параллельные преобразования, а также преобразования звезды в многоугольник и обратно. Формализуется исключением переменных методом Гаусса.

Рис. 3.14. Эквивалентирование схемы в многоугольник

При построении модели эквивалента, адекватно представляющего преобразованную часть электрической системы для множества режимов, требуется учет нелинейности уравнений установившегося режима. В этом случае, а также в случаях эквивалентирования посредством расчета проводимостей нагрузки через номинальное напряжение неизбежна погрешность моделирования.

Минимизация погрешности может быть выполнена поиском минимума некоторой целевой функции:

(3.54)

где y'_j и y''_j ^э – компоненты вектора выходных переменных исходной и эквивалентной моделей, которые должны воспроизводится правильно;

R – вектор параметров эквивалентной модели; m – число выходных переменных.

Пример. Для схемы на рис 3.15 выполним исключение узлов номер 4 и 5.

Рис. 3.15. Пример эквивалентирования схемы сети

Разделим на блоки матрицы в линейных уравнениях установившегося режима (3.28) – выделим блоки для сохраняемых и исключаемых узлов.

Обозначим вектор задающих токов сохраняемых узлов: , а вектор токов исключаемых узлов . Соответственно и для напряжений .

Уравнение узловых напряжений для электрической сети

запишется в виде

Или в раскрытой форме:

В соответствии с правилом умножения матриц получим

откуда следует система двух матричных уравнений

Исключим из этой системы , для чего умножим правую и левую части второго уравнения на матрицу и получим

откуда следует

Подставляя теперь полученное выражение в уравнение , находим

откуда

или

и в развернутой форме

Полученная система уравнений описывает новую схему, где по отношению к исходной отсутствуют два узла 4 и 5. При этом в данном примере изменились все параметры сети и задающие токи узлов.

Эквивалентирование части ЭЭС обычно выполняется не для одного, а для ряда режимов непреобразуемой подсистемы, поэтому удовлетворение критериев эквивалентности должно обеспечить тождественность режима узлов и ветвей примыкания исходной и преобразованной схем не только для исходного, но и для всех других анализируемых режимов.

3.9. Моделирование схем электрических сетей
с помощью четырехполюсников

Часть электрической цепи, рассматриваемая по отношению к двум парам ее выводов, называется четырехполюсником. Ранее здесь использовалось представление четырехполюсником ЛЭП и трансформаторов, однако существует возможность представления в виде четырехполюсника и соединений этих элементов – схем электрических сетей.

Моделирование четырехполюсником удобно применять тогда, когда предметом исследования являются токи (потоки мощности) и напряжения на его выводах, а не токи и напряжения внутри самого четырехполюсника.

По свойству линейности элементов четырехполюсники разделяют на линейные и нелинейные.

Схема замещения (внутренняя схема соединений) четырехполюсника может быть: Г-образная (рис. 3.16, а), Т-образная (рис. 3.16, б),
П-образная (рис. 3.16, в), четырехплечая (рис. 3.16, г), П-образная мостовая (рис. 3.16, д), Т-образная мостовая (рис. 3.16, е) и др.

Четырехполюсник называется активным, если он внутри содержит источники электрической энергии, и пассивным, если внутри него нет источников энергии.

Различают четырехполюсники симметричные и несимметричные. Симметричным называют четырехполюсник, когда перемена мест его входа и выхода не изменяет токов и напряжений в цепи, с которой он соединен.

Основной смысл теории четырехполюсников заключается в том, что, пользуясь обобщенными параметрами четырехполюсников, можно находить токи и напряжения на входе и выходе четырехполюсника.

Из множества соединений четырехполюсников в электрических сетях применимы только две: каскадное (рис. 3.16, а) и параллельное (рис. 3.16, б).

Рис. 3.16. Схемы замещения четырехполюсника

Электрическая сеть, имеющая в общем случае множество узлов и ветвей, может рассматриваться как совокупность четырехполюсников, соединенных по определенной схеме. Отличительной чертой четырехполюсников, моделирующих элементы электрической сети, является наличие у них всех одного общего полюса – нейтральной плоскости, и по сути они могут считаться трехполюсниками. Сложность схемы соединения электрической сети и нелинейность, вносимая нагрузками и генераторами, не позволяют широко использовать четырехполюсники для моделирования электрических сетей. Возможны два принципиально различающихся подхода к использованию четырехполюсников:

· моделирование отдельных элементов или их каскадно-парал-лельного соединения при отсутствии в них источника энергии или нагрузки, заданных нелинейными математическими моделями;

· приближенное представление части электрической сети при наличии нелинейных моделей генерации или нагрузки в виде эквивалентного четырехполюсника.

Последний подход распространяется на моделирование электрических сетей с помощью многополюсников.

Рис. 3.17. Соединения четырехполюсников:

а – каскадное; б – параллельное

Рассмотрим первый подход. Для получения параметров эквивалентного (результирующего) четырехполюсника, составленного из простых четырехполюсников, параметры которых известны, удобно пользоваться матричной формой записи:

(3.55)

Запись уравнений четырехполюсника (3.54) называется А -формой записи. Другие формы уравнений четырехполюсника могут быть получены из (3.55) выражением в левой части тех или других пар токов и напряжений. Всего возможно шесть форм записи – число сочетаний из четырех по два. Можно выделить еще две формы записи: это Y -форма (3.56) и Z -форма (3.57).

(3.56)

(3.57)

При каскадном соединении четырехполюсников (рис. 3.17, а) параметры эквивалентного четырехполюсника получаются перемножением матриц коэффициентов четырехполюсников в A -форме (3.55), а при параллельном соединении (рис. 3.17, б) – сложением матриц коэффициентов четырехполюсников в Y -форме (3.56):

(3.58)

(3.59)

3.10. Использование четырехполюсников
для эквивалентирования схем электрических сетей

В некоторых случаях для эквивалентирования схем электрических сетей удобно использовать четырехполюсники.

Рассмотрим простые примеры упрощения электрических сетей с помощью четырехполюсников.

Вначале рассмотрим соединение двух элементов: линий электропередач и трансформатора. На рис. 3.18 изображены две схемы с двумя элементами. На первой схеме есть две линии, а на второй линия и трансформатор. В обоих случаях модели сетей с четырехполюсниками имеют их каскадное соединение и эквивалентный четырехполюсник имеет матрицу коэффициентов, вычисляемую по выражению

(3.60)

в

Рис. 3.18. Схема сети с каскадным соединением двух элементов:

а – две линии; б – линия и трансформатор; в – каскадное соединение
и эквивалентирование четырехполюсников

Далее для простоты вследствие того, что один полюс на входе и на выходе четырехполюсника в схемах электрических систем отождествляют с нейтралью трехфазной системы, четырехполюсники, моде-лирующие элементы электрических сетей, будем обозначать, как на рис. 3.19.

В схеме с параллельными соединениями элементов будем всегда полагать соединение однотипных элементов: две или более параллельно включенных линии, два или более параллельно включенных трансформатора и т. п. Коэффициенты эквивалентного четырехполюсника в этом случае определяются через матрицы проводимостей уравнений четырехполюсника, записанных в Y -форме (3.56).

Рассмотрим пример схемы, содержащий электрическую нагрузку, заданную мощностью (рис. 3.20).

S н

а

S н

б

Рис. 3.20. Схема сети с промежуточной нагрузкой:

а – схема электрической сети; б – модель сети с четырех-
полюсниками

Четырехполюсники I и II нельзя считать соединенными каскадно; есть еще один элемент – нагрузка. Рассмотрим этот фрагмент сети отдельно (рис. 3.21).

Рис. 3.21. Фрагмент модели сети с промежу-
точной нагрузкой

Запишем известные соотношения для шин нагрузки:

(3.61)

Ток нагрузки при подстановке его в (3.61) делает эти выражения нелинейными.

Перейдем к модели электрической нагрузки в виде схемы замещения (рис. 3.22)

(3.62)

Рис. 3.22. Модель сети с представлением
промежуточной нагрузки схемой замещения

и запишем для нее уравнения четырехполюсника:

(3.63)

или

(3.64)

В результате получим каскадное соединение трех четырехполюсников (рис. 3.23).

Рис. 3.23. Схема сети с представлением промежу-
точной нагрузки четырехполюсником

(3.65)

В схеме сети с двумя промежуточными нагрузками аналогично получим (рис. 3.24).

а

б

Рис. 3.24. Схема сети из трех линий с промежуточными нагрузками:

а – схема сети; б – модель сети с четырехполюсниками

(3.66)

Аналогично нагрузке в схеме электрической сети представляются и другие элементы, включенные в виде шунта (поперечной ветви). К таким элементам относятся компенсирующие устройства и шунтирующие реакторы.

Следует подчеркнуть, что шунтирующие элементы и нагрузки, которые могут быть представлены схемой замещения с линейными элементами (сопротивления и проводимости не зависят от напряжения или тока, протекающего по ним), не вносят погрешности в эквивалентную модель и являются пассивными элементами сети. Нагрузки в электрических сетях, как правило, не могут с достаточной степенью точности моделироваться схемами замещения с постоянными параметрами. По своей сущности нагрузка – это активный элемент сети, хотя не является источником энергии, а ее потребителем. В большинстве случаев нагрузка задается постоянной мощностью или статическими характеристиками, что вносит погрешность при представлении их в виде схем замещения (сопротивления и проводимости зависят от напряжения, приложенного к ним).

Пример 1. Получим эквивалентную схему сети, изображенной на рис. 3.25, посредством представления ее эквивалентным четырехполюсником и П-образной схемой замещения. Нагрузку Н₁представим в эквиваленте схемой замещения. Вычислить напряжение и мощность в начале схемы сети по известным напряжению и мощности в конце схемы по уравнению эквивалентного четырехполюсника и эквивалентной схеме замещения.

Рис. 3.25. Схема сети 220 кВ

Параметры ЛЭП – Л₁ и Л₂:

Эле-мент	Марка провода	U ном, кВ	L, км	Количество цепей	r 0, Ом/км	x 0, Ом/км	g 0, мкСм/км	b 0, мкСм/км
Л1	АС-240/32				0,118	0,435		2,604
Л2	АС-240/32				0,118	0,435		2,604

Мощность нагрузки Н₁: S _H1 = 80 + j 36 МВּА.

Мощность нагрузки Н₂: S _H2 = 120 + j 50 МВּА. Напряжение на шинах нагрузки Н₂: U ₂ = 226 кВ.

Расчет выполним в системе Mathcad: сопротивления – в омах, проводимости – в сименсах, коэффициент распространения волны – в радианах, напряжения – в киловольтах, токи – в килоамперах, передаваемая мощность – в мегавольт-амперах, потери холостого хода трансформаторов и потери в реакторах – в киловольт-амперах.

Системная переменная Mathcad номера начального индекса:

Номинальное напряжение сети и погонные параметры линий Л₁ и Л₂:

Параметры четырехполюсника ЛЭП – Л₁:

Параметры четырехполюсника ЛЭП – Л₂:

Параметры четырехполюсника нагрузки – H₁:

Параметры эквивалентного четырехполюсника:

Параметры эквивалентной П-образной схемы замещения:

Определение напряжения и мощности в начале схемы сети:

В П-образной схеме замещения сети в проводимости Y ₁ и Y ₂ вошла проводимость нагрузки Н₁.

Пример 2. Получим эквивалентную схему электропередачи, показанной на рис. 3.26. Преобразуем для этого элементы Т₁, Р₁, Л, Р₂и Т₂в эквивалентную схему, представленную четырехполюсником и П-образной схемой замещения. Вычислим напряжение и мощность в начале электропередачи по известным напряжению и мощности в ее конце по уравнению эквивалентного четырехполюсника.

Схема имеет одноцепную ЛЭП и по одному трансформатору с обеих сторон.

Рис. 3.26. Схема электропередачи

Параметры трансформаторов – Т₁ и Т₂ :

Эле-мент	Тип	S ном, МВ · А	U вн, кВ	U нн, кВ	R, Ом	X, Ом	P х, кВт	Q х, квар
Т1	ТЦ-630000/500			15,75	0,9	61,3
Т2	3хАОДЦТН-167000/500	3х167			1,0	61,1	3´125	3´2004

Параметры ЛЭП – Л:

Элемент	Конструкция фазы	U ном, кВ	L, км	r 0, Ом/км	x 0, Ом/км	g 0, мкСм/км	b 0, мкСм/км
Л	3хАС-500/64			0,2	0,304	0,08	3,64

Параметры реакторов – Р₁ и Р₂:

Элемент	Тип	S ном, МВ · А	U ном, кВ	D P, кВт
Р1 и Р2	3хРОДЦ-60	3´60		3´150

Мощность нагрузки – Н: S _H = 350 + j 140 МВּА. Напряжение на шинах нагрузки 220 кВ.

Расчет выполним в системе Mathcad: сопротивления – в омах, проводимости – в сименсах, коэффициент распространения волны – в радианах, напряжения – в киловольтах, токи – в килоамперах, передаваемая мощность – в мегавольт-амперах, потери холостого хода трансформаторов и потери в реакторах – в киловольт-амперах.

Системная переменная Mathcad номера начального индекса:

Параметры четырехполюсника ЛЭП – Л:

Параметры четырехполюсника повышающего трансформатора – Т₁:

Параметры четырехполюсника понижающего трансформатора – Т₂:

Параметры четырехполюсников реакторов – Р₁ и Р₂:

Параметры эквивалентного четырехполюсника – А:

Параметры эквивалентной П-образной схемы замещения:

Определение напряжения и мощности в начале электропередачи:

В первом примере для эквивалентирования потребовалось представление нагрузки схемой замещения в виде проводимости. Для этого были использованы номинальное напряжение и заданная мощность нагрузки. Отличие действительного напряжения на шинах нагрузки Н₁ от значения, которое было использовано в формуле для получения проводимости нагрузки, при использовании эквивалентной схемы в расчетах режимов приводит к погрешности, которая тем больше, чем сильнее различие в напряжениях: принятом при эквивалентировании и действительным, которое получилось бы при расчете не преобразованной схемы. Это связано с тем, что мощность нагрузки принята постоянной величиной.

Во втором примере погрешности при эквивалентировании нет. Проводимость реактора получена при его номинальном напряжении и с изменением действительного напряжения мощность, потребляемая реактором, меняется, что отражает действительную картину работы реактора.

Вопросы для самопроверки

1. Как задается граф?

2. Какой граф называется связным?

3. Что называется деревом графа?

4. Как составить первую матрицу инциденций направленного
графа?

5. Как составить вторую матрицу инциденций направленного
графа?

6. Как с помощью графов моделируются элементы электрической сети: линия электропередачи, трансформатор и др.?

7. Перечислите матрицы параметров схемы электрической сети.

8. Как записывается первый закон Кирхгофа в матричной форме?

9. Как записывается система уравнений узловых напряжений в матричной форме?

10. Как составить матрицу узловых проводимостей по схеме электрической сети?

11. Какой узел схемы электрической сети называется балансирующим?

12. Какой узел схемы электрической сети называется базисным?

13. Какие существуют формы записи линейных уравнений установившегося режима?

14. Как получить систему нелинейных уравнений установившегося режима электрической сети?

15. Какие узлы в схеме электрической сети относят к генераторным узлам?

16. Какие существуют критерии эквивалентности исходной и эквивалентной схем электрических сетей?

17. Какие формы записи уравнений четырехполюсников используются в расчетах схем электрических сетей?

18. В каких случаях для расчетов схем электрических сетей удобно использовать четырехполюсники?

19. Как эквивалентируется нагрузка, заданная мощностью, с помощью четырехполюсников?