Справочно

Субъективная погрешность измерения (субъективная погрешность) - составляющая систематической погрешности измерений, обусловленная индивидуальными особенностями оператора[5].

Инструментальную погрешность измерения мы также будем называть погрешностью средства измерения.

Обратите внимание на то, что существуют два близких, но всё-таки различных понятия - погрешность результата измерения и погрешность средства измерений.

Погрешность средства измерений - разность между показанием средства измерений и истинным (действительным) значением измеряемой физической величины[5].

Если предположить, что измерение проводится с помощью одного измерительного средства в идеальных условиях и так, чтобы ни используемая методика измерения, ни ошибки персонала, участвующего в проведении измерения, ни какие другие внешние факторы не влияли на погрешность результата измерения, то количественно погрешность средства измерения будет совпадать с погрешностью результата измерения. Другими словами погрешность средства измерения это, по сути дела, «вклад» данного средства измерений в общую погрешность результата измерения.

Поскольку понятия погрешность средства измерения и погрешность результата измерения близки друг к другу, постольку они обычно классифицируются по одинаковым признакам.

1.3. По характеру (закономерности) возникновенияпогрешности подразделяются на систематические, случайные и промахи (грубые).

Промах - погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда[5].

Иногда вместо термина «промах» применяют термин грубая погрешность измерений. Промахи обычно достаточно просто выявляют за счёт того, что при промахе результат измерения может очень существенно отличаться от результатов других измерений той же физической величины.

Если не учитывать промахи, абсолютная погрешность измерения D представляется суммой систематической D_с и случайной составляющей :

D=D_с + (5)

где D_с – систематическая, а - случайная погрешность.

Систематическая погрешность измерения (систематическая погрешность) - составляющая погрешности результата измерения, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторных измерениях одной и той же физической величины[5].

Результаты измерения, содержащие систематическую погрешность, относятся к неисправленным. При проведении измерения стараются исключить, уменьшить или учесть влияние систематических погрешностей. Однако для того, чтобы это сделать, необходимо эту погрешность сначала обнаружить.

Существует множество методов обнаружения, исключения или существенного уменьшения систематических погрешностей. Однако почти все эти методы можно условно разделить на две группы.

Во-первых, это методы основанные на использовании некоторого более точного средства измерения.

К этой группе относятся методы замещения, метод введения поправок и некоторые другие. Все эти методы в конце концов основаны на том, что результаты измерения с помощью данного средства измерений сравниваются с результатами измерения более точными средствами измерений или же на вход данного средствами измерений с точного источника (например, с помощью специальной меры) подаётся физическая величина значение которой известно.

В результате выявляется расхождение между действительным значением измеряемой величины и результатом измерения. После этого или корректируются показания средства измерения (например, регулируется установка нуля шкалы) или вводится поправка, которая учитывается в дальнейшем при каждом измерении.

Например, до конца 70-х годов прошлого века не было компактных и сравнительно дешёвых точных приборов для измерения времени. Самым точным прибором на флоте был морской хронометр. Но качество его работы существенно ухудшалось, если при каждой сверке времени его подводили. Поэтому при сверке по сигналам точного времени хронометр не подводили, а просто записывали на сколько он ушёл вперёд или отстал. Бумажку с этой записью вкладывали в корпус хронометра. Когда штурман хотел определить точное время (чем точнее знаешь время, тем точнее можно было определить место корабля), он снимал показания хронометра и прибавлял к нему то время, которое было записано на этой бумажке. Это как раз и было использование метода введения поправок.

Ещё одним примером использования этого метода является введение поправки в случае обнаружения неравноплечности рычажных весов.

Во-вторых, это методы, основанные на таком изменении условий проведения измерений, при котором систематическая погрешность меняет свой знак или величину. К таким методам относятся, в частности, методы компенсации погрешности по знаку, метод рандомизации, метод противопоставления и некоторые другие методы.

Так, например, влияние уже упомянутой неравноплечности весов можно устранить, взвесив исследуемое тело дважды - сначала на одной чаше весов, а затем на другой.

Рис.3. Принципы получения оценки систематической погрешности с помощью более точного средства измерения

Рис.4. Морской хронометр

Рис.5 Рычажные весы

Подробнее с такими методами можно познакомиться в разделе 2.3. учебника: «Нефедов В.И., Метрология и радиоизмерения, Москва: Издательство "Высшая школа", 2006».

При оценке систематической погрешности следует также иметь ввиду, что систематическая погрешность данного средства измерений, как правило, будет отличаться от систематической погрешности другого экземпляра средства измерений этого же типа. Поэтому и оценивать такую погрешность необходимо отдельно для каждого средства измерений. Обычно это делается в процессе периодической поверки средств измерения. Если же возможность оценки систематической погрешности конкретного средства измерений отсутствует и приходится ориентироваться на метрологические характеристики, указанные в технической документации, то в этом случае реальная систематическая погрешность должна рассматриваться как случайная с нормальным распределением и математическим ожиданием равным систематической погрешности, указанной в технической документации.

Поверка средств измерений ( поверка) - установление органом государственной метрологической службы (или другим официально уполномоченным органом, организацией) пригодности средства измерений к применению на основании экспериментально определяемых метрологических характеристик и подтверждения их соответствия установленным обязательным требованиям[5].

Случайная погрешность измерения (случайная погрешность) - составляющая погрешности результата измерения, изменяющаяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях, проведенных с одинаковой тщательностью, одной и той же физической величины[5].

Аналитически случайные погрешности описываются и оцениваются с помощью методов теории вероятностей и математической статистики. Для описания законов распределения погрешностей измерения чаще всего используется нормальный закон распределения погрешностей, закон распределения Стъюдента и равномерное распределение.

Для нормального закона распределения функция распределения определяется выражением:

P(D)= exp( (6)

Рис.6. Плотность распределения вероятностей для нормального закона

При этом вероятность того, что реальная погрешность измерения будет находиться в промежутке между D_r и - D_r, можно подсчитать с помощью формулы:

P(- D_r< D < D_r)=2 = dD (7)

Распределение Стьюдента наиболее часто применяется при обработке результатов небольшого числа (2£n<20) и справедлив, когда случайные погрешности распределены по нормальному закону[6]. Распределение Стьюдента сходится к стандартному нормальному при n®¥.

Рис.7. Плотность распределения вероятностей для распределения Стьюдента

Рис.8. Уильям Сили Госсет более известный под своим псевдонимом Стьюдент

Равномерное распределение вероятностей имеет функцию распределения:

(8)

Рис.9. Плотность вероятностей равномерного распределения

Вероятность того, что случайная погрешность D находится в симметричном интервале (-D_r, -D_r) определяется с помощью выражения:

(9)

При оценке случайных погрешностей как правило не строят полностью график плотности функции распределения, а, опираясь на обоснованную гипотезу о виде функции распределения, вычисляют математическое ожидание и дисперсию (или СКО) случайной величины, а также доверительную вероятность для выбранного доверительного интервала (или наоборот - доверительный интервал для определённой доверительной вероятности).

1.4. По характеру поведения измеряемой величины погрешности делятся на статические и динамические погрешности.

Статическая погрешность средства измерений ( статическая погрешность) - погрешность средства измерений, применяемого при измерении физической величины, принимаемой за неизменную[5].

Динамическая погрешность средства измерений ( динамическая погрешность) - погрешность средства измерений, возникающая при измерении изменяющейся (в процессе измерений) физической величины[5].

1.5. Кроме того, в соответствии с [8] все погрешности можно разделить на три группы (Рис.9):

Как уже отмечалось ранее, целью измерения является получение результата измерения, необходимо оценить и погрешности измерения и записать его результаты так, чтобы они могли быть в дальнейшем правильно интерпретированы.

Для этого, прежде всего, следует разобраться, о какой именно погрешности идёт речь и что значить оценить погрешность.

Во-первых, это может быть максимальная допустимая погрешность, при которой ещё возможно провести измерение, т.е. норма характеристик погрешности.

Во-вторых, это погрешность (приписанные погрешности) конкретного однократного измерения (статистических данных нет), которую нам необходимо оценить на основе имеющейся информации о метрологических характеристиках средств измерений и метода измерений.

Наконец, в-третьих, это погрешность измерения физической величины достигнутая при многократных измерениях.

Если бы погрешность была величиной детерминированной, то, очевидно, что оценка погрешности заключалась бы в определении значения этой погрешности. В частности, оценка систематической погрешности так и производится. Её определяют при поверке и либо устраняют, либо фиксируют и используют в качестве поправочного коэффициента (поправки).

Однако, как уже было показано, погрешность есть величина, которая складывается не только из систематической, но и из случайной составляющей, а для описания случайных величин необходимо использовать аппарат теории вероятностей.

При массовых технических измерениях преимущественно применяют нормы погрешности измерений, а также приписанные характеристики погрешности измерений[8].

При измерениях, выполняемых при проведении научных исследований и метрологических работ (определение физических констант, свойств и состава стандартных образцов, индивидуальном исследовании средств измерений и т. п.), преимущественно применяют статистические оценки погрешности измерений. Они представляют собой статистические (выборочные) характеристики случайной величины - погрешности измерений[8].

Общую погрешность можно также в виде[6]:

D= (10)

где x – значение измеряемой величины, а a,b – положительные числа, не зависящие от x.

Погрешности, которые не зависят от значения измеряемой величины принято называть аддитивными (D=a), а погрешности, значение которых пропорционально взрастает с ростом измеряемой величины – мультипликативными (D=bx). На рис.10 [6] показаны зависимости погрешностей разного вида от значения измеряемой величины.

Рис.10. Классификация погрешностей по предопределённости

Рис.11. а) аддитивная погрешность; б) мультипликативная погрешность; в) сумма аддитивной и мультипликативной погрешности; г) относительная суммарная погрешность

Как уже отмечалось в первой лекции, все измерения можно условно подразделить на прямые и косвенные и однократные и многократные измерения.

Погрешность результата однократного измерения (погрешность измерения) - погрешность одного измерения (не входящего в ряд; измерений), оцениваемая на основании известных погрешностей средства и метода измерений в данных условиях (измерений)[5].

При прямых однократных измерениях оценка погрешности осуществляется путём определения нормы погрешности, т.е. максимально допустимой погрешности (требуемой), которая называется «предельная (предел) допускаемая погрешность». Норма погрешности в случае однократных измерений оценивается по известным метрологическим характеристикам средства измерений.

Справочно:

При косвенных однократных измерениях общая погрешность определяется через погрешности определения физических величин, функцией которых является измеряемая величина.

Предположим, что измеряемая физическая величина Y является функцией реально измеряемой физической величины X.

Y=f(X) (11)

Пусть величина X имеет погрешность D_х.

Приращение на D_х аргумента Х даёт приращение аргумента:

D_Y»f¢D_х (12)

Если физическая величина является функцией нескольких непосредственно измеряемых величин:

Y=f(X₁,Х₂,Х₃,…,Х_n) (13)

При этом погрешность величины Y будет равна

maxD_Y»f¢D_х1+ f¢D_х2+ f¢D_х3+…+ f¢D_хn (14)

В данном случае речь идёт именно о максимально возможной погрешности, т.е. погрешности величины Y при условии, что при измерении всех величин Х_i погрешность будет максимальна и иметь один знак. На практике такая ситуация встречается редко и поэтому погрешность измерения при косвенных измерениях рассчитывают по формуле:

(15)

Эта формула доказывается в теории ошибок [9].

На практике, однако, достаточно часто складывается ситуация, когда одна из составляющих f¢D_хi существенно больше остальных и тогда другие составляющие просто не принимаются во внимание.

При прямых многократных измерениях одной и той же физической величины для уменьшения погрешности используют методы статистической обработки результатов измерений. Рассмотрим здесь два наиболее часто используемых метода – метод Корнфельда и метод расчета погрешностей Стьюдента.

Простейший способ определения D дает метод Корнфельда[10], который предписывает следующий образ действий, если физическая величина х измерена n раз.

1) Имея х₁, …,х_n – значений измеряемой величины х, выбираем из х_max и х_min и находим среднее значение х:

(16)

2) находим абсолютную погрешность D x_р = (17)

3) Записываем результат в виде: с , где a - доверительная вероятность того, что истинное значение измеренной величины находится на отрезке .

Доверительная вероятность определяет собой долю средних значений х, полученных в аналогичных сериях измерений, попадающих в доверительный интервал. (Эта формула доказывается в теории ошибок.)

Недостатком метода Корнфельда является то обстоятельство, что вероятность приводимого результата определяется исключительно количеством n проведенных измерений и не может быть изменена посредством увеличения или уменьшения доверительного интервала ± D х.

Такую возможность предусматривает несколько более сложный метод расчета погрешностей Стьюдента[6]. Последовательность расчета погрешностей этим методом такова:

1) Проводим измерения и получаем несколько i = 1,...,m значений случайной

величины _i.

2) Исключаем промахи, то есть заведомо неверные результаты.

3) По оставшимся n значениям определяем среднее значение величины :

(18)

4) Определяем среднеквадратичную погрешность среднего значения :

(19)

5) Задаемся доверительной вероятностью a. По таблице коэффициентов Стьюдента определяем по известному значению числа измерений n и доверительной вероятности a коэффициент Стьюдента t_an. Определяем погрешность среднего значения величины (доверительный интервал)

D = t_an s_<X>

6) Записываем результат

= ( ± D ) с указанием доверительной вероятности a.