Теоретические основы. В дальнейшим будем использовать в математических моделях материалов систему обозначений физических величин

В дальнейшим будем использовать в математических моделях материалов систему обозначений физических величин, представленную в таблице 4.1

Таблица 1 - Система обозначений физических величин

Обозначение	Определение
{ ε^el }	упругие деформации
{ ε^pl }	пластические деформации
{ ε^tr }	пробные деформации
	эквивалентные пластические деформации
{ σ }	напряжения
σ_e	эквивалентные напряжения
σ_y	предел текучести материала
σ_m	величина гидростатических напряжений
	эквивалентные пластические напряжения
λ	пластический коэффициент (определяет величину пластических деформаций)
{ α }	перемещение поверхности текучести
κ	пластическая работа
C	множитель перемещения (параметр материала)
[ D ]	матрица напряжений-деформаций
E_T	касательный модуль
F	критерий текучести
N	коэффициент напряжений
Q	потенциал пластической деформации (функция напряжений, определяющая направление пластических деформаций)
{ S }	девиаторные напряжения

Для описания поведения материала с пластичностью, не зависящей от скорости деформации, необходимо иметь математические соотношения, определяющие три типа параметров:

- критерий текучести;

- закон текучести;

- закон упрочнения.

Критерий текучести определяет уровень напряжений при котором в материале начинаются пластические деформации. Для сложного напряженного состояния он является функцией всех компонентов вектора напряжений f ({ σ }), которая обычно представляется как эквивалентные напряжения σ_e:

. (4.4)

В случае, если эквивалентные напряжения в материале равны пределу текучести материала σ_y:

, (4.5)

в материале начинаются пластические деформации. Пока эквивалентные напряжения меньше, чем предел текучести, материал остается упругим, и напряжения подчиняются упругой зависимости между напряжениями и деформациями. Заметим, что в рассматриваемой теории пластичности эквивалентные напряжения не могут превышать напряжения текучести материала, ведь при его достижении пластические деформации происходят мгновенно и не позволяют напряжениям превысить предел текучести. Само выражение (4.5) может быть графически представлено в виде поверхностей напряжений (рисунок 4.2) различных для разных моделей пластичности. Поверхности на рисунке 4.2 называются поверхностями текучести т.к. любое напряжение внутри них является упругим и не приводит к появлению пластических деформаций.

Рисунок 4.2 - Поверхности текучести для различных моделей пластичности

Закон текучести определяет направление пластических деформаций и записывается в следующем виде:

. (4.6)

Если Q есть функция текучести (как обычно и подразумевается) т.е. то Q = F, закон текучести называют ассоциированным, а пластические деформации происходят перпендикулярно поверхности текучести.

Закон упрочнения описывает изменение поверхности текучести при неоднократном пластическом нагружении и позволяет определить условия (т.е. напряженное состояние) повторного возникновения пластических деформаций. Существует два типа законов упрочнения: механическое упрочнение (деформационное упрочнение, наклёп) и кинематическое упрочнение. При механическом упрочнении поверхность текучести не меняет своей начальной оси, но увеличивается в размере в связи с развитием пластических деформаций. Для материалов с изотропной пластичностью такое упрочнение называется изотропным (рисунок 4.3 а). Кинематическое упрочнение подразумевает, что размер поверхности текучести не меняется, но сама она сдвигается в пространстве напряжений, как показано на рисунке 4.3 б.