Определение характеристик стационарного эргодического процесса по одной реализации

Если для стационарного процесса X (t) принимается гипотеза о том, что он обладает эргодическим свойством, то его математическое ожидание, дисперсию и СКО можно оценить по одной достаточно продолжительной реализации:

, (6.113)

, (6.114)

, (6.115)

где n – длина реализации (число членов ряда).

Отметим, что формулы (6.113 – 6.115) практически совпадают с формулами, которые используются при оценке этих параметров в рамках модели случайной величины. Разница состоит в том, что при использовании модели случайной величины имеющийся ряд рассматривается в качестве выборки из генеральной совокупности. Числовые характеристики, полученные по выборке, принимаются в качестве числовых характеристик случайной величины.

При использовании модели стационарного эргодического случайного процесса имеющийся ряд рассматривается как одна реализация случайного процесса. Числовые характеристики, полученные по этой реализации, принимаются в качестве числовых характеристик случайного процесса.

Корреляционная функция и автокорреляционная функция стационарного эргодического случайного процесса оцениваются по формулам:

, (6.116)

, (6.117)

где t – расстояние между сечениями (используются также термин "сдвиг", а в зарубежной литературе – "лаг").

В практике гидрологических расчетов наиболее часто используется первая ордината автокорреляционной функции, которая называется коэффициентом автокорреляции. Как следует из формул (6.116 – 6.117) коэффициент автокорреляции определяется выражением:

. (6.118)

Поясним методику оценки ординат автокорреляционной функции на следующем примере.

Даны среднегодовые расходы воды реки Невы в створе деревни Новосаратовки (табл. 6.4), длина ряда n = 15.

Таблица 6.4

Расчет ординат автокорреляционной функции ряда среднегодовых расходов воды; р. Нева – д. Новосаратовка

№ п/п	год	Расход воды, м3/с; y	t = 0 m = 15	t = 1 m = 14	t = 2 m = 13	t = 3 m = 12
x 0	x 1	x 2	x 3
Коэффициент парной корреляции, r (y, xi)	1.0	0.49	0.10	0.08
Среднеквадратическая погрешность коэффициента парной корреляции	± 0.0	± 0.14	± 0.26	± 0.28

Для того чтобы рассчитать первые три ординаты автокорреляционной функции, сдвигам ряд относительно самого себя на величину t = 0, 1, 2, 3. Исходный ряд обозначим y; ряд, полученный при сдвиге t = 0 обозначим x ₀; ряд, полученный при сдвиге t = 1 обозначим x ₁; ряд, полученный при сдвиге t = 2 обозначим x ₂ и ряд, полученный при сдвиге t = 3 обозначим x ₃.

Рассчитаем коэффициенты парной корреляции между y и каждым из вновь сформированных рядов: r (y, x ₀), r (y, x ₁), r (y, x ₂), r (y, x ₃). При этом в принципе рассчитывать коэффициент корреляции при t = 0 нет необходимости, так как r (y, x ₀) º 1.

Полученные коэффициенты парной корреляции r (y, x_i) представляют собой оценки первых трех ординат искомой автокорреляционной функции.

Следует отметить, что при увеличении t, совместный период, по которому оценивается коэффициент парной корреляции m уменьшается. В данном случае при t = 0 получаем m = 15, при t = 1 m = 14, при t = 2 m = 13; при t = 3 m = 12.

При уменьшении m неизбежно возрастает погрешность выборочных ординат автокорреляционной функции.

В классической статистике принято рассчитывать первые m ординат автокорреляционной функции:

. (6.119)

В практике гидрологических расчетов нередко применяют более слабое ограничение:

. (6.120)

Однако нужно помнить, что при малых n недостоверными могут оказаться не только значения выборочных ординат корреляционной функции, но даже их знак уже при t ³ 2 (см. табл. 6.2).

Погрешность ординат автокорреляционной функции для стационарного эргодического процесса оценивается по формуле:

. (1.121)