Определение характеристик периодически коррелированного случайного процесса по одной реализации

Если периодически коррелированный случайный процесс X (t) (ПКСП) c периодом коррелированности T обладает эргодическим свойством, то его характеристики можно определить по одной достаточно продолжительной реализации. Математическое ожидание и дисперсия для ПКСП являются периодическими функциями, поэтому достаточно получить значения искомой характеристики для моментов времени t = 1, 2, 3, … T.

Математическое ожидание и дисперсия оцениваются по формулам:

, (6.122)

, (6.123)

где k – целое число, kT = N; N – длина реализации.

Так, например если рассматривать в рамках модели ПКСП расходы воды за 30 лет с шагом дискретности один месяц, то мы будем иметь ряд из 360 среднемесячных расходов при периоде коррелированности T = 12 месяцев. В этом случае для того, чтобы оценить математическое ожидание и дисперсию случайного процесса, нужно рассчитать эти характеристики для каждого из двенадцати месяцев (рис.6.11).

Рис. 6.11. Оценки математического ожидания (1) и дисперсии (2) среднемесячных расходов воды м³/с на интервале 12 месяцев; р. Нева – д. Новосаратовка.

Если полученные для 12 месяцев функции m ^*(t) и D ^*(t) "размножить" и "склеить" в цепочку, то мы получим искомые оценки математического ожидания и дисперсии соответствующие эргодическому ПКСП (рис.6.12).

Рис. 6.12. Оценки математического ожидания (1) и дисперсии (2) среднемесячных расходов воды м³/с на 5-летнем интервале времени в рамках модели ПКСП; р. Нева – д. Новосаратовка.

Автокорреляционная функция эргодического ПКСП может быть определена по формуле

, (6.124)

где – центрированный ПКСП; .

Рассмотрим методику оценки автокорреляционной функции эргодического ПКСП на примере ряда среднемесячных расходов воды реки Невы в створе д. Новосаратовка за 1859 – 1986 гг. (табл.6.5).

Таблица 6.5

Среднемесячные расходы воды, м³/с; р. Нева – д. Новосаратовка

№ п/п	Год	Месяцы без сдвижки	Месяцы со сдвигом вверх на 1 год
		…			1*	2*	…	11*	12*
				…					…
				…					…
				…					…
				…					…
				…					…
				…					…
				…					…
				…					…
	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
				…					…
				…					…
				…					…
				…					…
				…

Будем рассчитывать оценки первых 12 ординат. Для этого сдвинем исходную таблицу расходов на один год вверх (табл.6.5). В результате получим 24 столбца расходов: (1, 2, 3, …12) + (1*, 2*, 3*,…, 12*). Каждый столбец содержит 127 значений.

Используя эти данные, рассчитываем корреляционную матрицу (табл. 6.6). Полученная корреляционная матрица будет иметь размер 24 ´ 24 (по числу столбцов в табл. 6.5).

Таблица 6.6

Корреляционная матрица среднемесячных расходов воды;

р. Нева – д. Новосаратовка

Месяц					…		1*	2*	3*	…	12*

	0.95
	0.89	0.92
…	…	…	…	…	…
	0.45	0.48	0.46	0.41	…
1*	0.52	0.58	0.53	0.41	…	0.85
2*	0.45	0.53	0.48	0.37	…	0.81	0.95
3*	0.38	0.45	0.41	0.29	…	0.78	0.88	0.92
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
12*	0.07	0.07	0.09	0.04	…	0.29	0.44	0.48	0.46	…

Поскольку в практике гидрологических расчетов интерес представляет зависимость настоящего от прошлого, а не от будущего, выбираем из таблицы соответствующие строки (в табл. 6.6 они выделены рамками).

Так, например, для месяца обозначенного символом 3* при сдвиге t = 0 получаем r (t, t) = r (3*,0) = 1, при t = 1 получаем r (3*,1) = 0.92, при t = 2 получаем r (3*,2) = 0.88, при t = 3 получаем r (3*,3) = 0.78 и т. д.

При сдвиге t = 12 мы получим коэффициент корреляции между мартом текущего года и мартом предшествующего года: r (3*, 12) = 0.41.

Выбранные из таблицы 6.6 ординаты автокорреляционной функции заносим в таблицу 6.7. Таким образом, в данном случае автокорреляционная функция ПКСП представляет собой набор из 12 автокорреляционных функций – для января, февраля, …, декабря. На рис.6.13 в качестве примера представлены две из 12 функций.

Таблица 6.7

Ординаты автокорреляционной функции среднемесячных расходов воды, r (t, t); р. Нева – д. Новосаратовка

t	Месяц

	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00	1.00
	0.85	0.95	0.92	0.81	0.83	0.95	0.97	0.99	0.99	0.98	0.91	0.84
	0.85	0.81	0.88	0.75	0.86	0.74	0.94	0.95	0.96	0.95	0.87	0.76
	0.86	0.86	0.78	0.75	0.88	0.78	0.69	0.91	0.92	0.92	0.81	0.72
	0.82	0.87	0.81	0.68	0.83	0.81	0.78	0.65	0.87	0.87	0.76	0.67
	0.78	0.82	0.78	0.75	0.69	0.75	0.82	0.74	0.61	0.81	0.71	0.62
	0.73	0.75	0.73	0.69	0.78	0.58	0.76	0.78	0.70	0.56	0.67	0.57
	0.67	0.69	0.66	0.64	0.77	0.68	0.58	0.72	0.74	0.63	0.47	0.53
	0.61	0.63	0.61	0.59	0.71	0.69	0.67	0.54	0.68	0.69	0.51	0.40
	0.41	0.56	0.54	0.54	0.65	0.63	0.69	0.62	0.49	0.62	0.55	0.46
	0.53	0.37	0.48	0.47	0.59	0.58	0.63	0.64	0.56	0.42	0.48	0.48
	0.58	0.48	0.29	0.43	0.53	0.52	0.57	0.58	0.59	0.50	0.32	0.44
	0.52	0.53	0.41	0.30	0.48	0.45	0.52	0.52	0.53	0.52	0.35	0.29

В рассмотренном примере рассчитывались ординаты автокорреляционной функции ПКСП до максимального сдвига t_max = 12. Если 12 < t_max £ 24, то на первом этапе формируется таблица не из 24 столбцов, а из 36 столбцов. Первые 12 столбцов – таблица исходных данных; следующие 12 столбцов получают сдвигом исходной таблицы вверх на 1 год; еще 12 столбцов получают сдвигом исходной таблицы вверх на 2 года.