25 вариантов задания приведены в табл. 1 приложения. Условия индивидуального задания берутся в соответствии с вариантом (графа 1).
Газовый цикл задан следующим образом: каждый из 4 процессов описан соответствующим показателем политропы (графы 2, 3, табл. 1 приложения); приведены термодинамические параметры некоторых точек цикла (графы 3–7, табл. 1 приложения); цикл отнесен к 1 кг воздуха.
Требуется произвести расчет газового цикла по законам и аналитическим зависимостям идеального газа.
1. Для каждого процесса, входящего в цикл, используя данные задания и характеристические уравнения, определить начальные и конечные параметры: давление, удельный объем, температуру, энтальпию, энтропию. Полученные результаты внести в табл. 8.1.1.
Таблица 8.1.1
Точки | p | v | T | u | h | s | |||||
Па | кгс/см2 | м3/кг | К | ºС | кДж/кг | ккал/кг | кДж/кг | ккал/кг | кДж/кг·К | ккал/кг·ºС | |
2. Определить характеристики цикла, используя аналитические зависимости соответствующих процессов и данные табл. 8.1.1. Полученные результаты внести в табл. 8.1.2 с учетом знака.
Таблица 8.1.2
Процесс | ∆u | ∆h | ∆s | q | l | |||||
кДж/кг | ккал/кг | кДж/кг | ккал/кг | кДж/кг·К | ккал/кг·ºС | кДж/кг | ккал/кг | кДж/кг | ккал/кг | |
1–2 | ||||||||||
2–3 | ||||||||||
3–4 | ||||||||||
4–1 |
3. Для цикла в целом определить подведенное тепло, отведенное тепло, работу цикла.
4. Перенести цикл по результатам расчета в T,s-и p,v-координаты.
5. Определить термический к.п.д. цикла. Сравнить полученный к.п.д. с термическим к.п.д. цикла Карно, совершенного при тех же крайних температурах.
Пример расчета
Вариант 0.
Цикл задан следующим образом:
p1 = 2 бар = 2 · 105 Па;
p2 = 12 бар = 12 · 105 Па;
v1 = 0,45 м3/кг;
t3 = 300 ºС;
n1–2 = k,
n2–3 = ∞,
n3–4 = k,
n4–1 = 0.
Решение.
1. Определим начальные и конечные параметры каждого процесса, входящего в цикл:
1–2 – адиабатный процесс, так как показатель политропы n = k. Для воздуха как двухатомного газа k =1,4.
Запишем зависимость между параметрами газа в процессе: , где
p1 = 2 бар = 2 · 105 Па, p2 = 12 бар = 12 · 105 Па, v1 = 0,45 м3/кг, k =1,4.
Тогда .
Запишем уравнение состояния идеального газа для точки 1: ,
где R0 – газовая постоянная, R0 = 287Дж/кг·К, тогда .
Запишем зависимость меду параметрами р и Т: , тогда
Для определения термодинамических функций находим изобарную и изохорную теплоемкости, используя закон Майера и выражение для показателя адиабаты: ; ; .
Вычислим внутреннюю энергию в точке 1: u1=cvT1=717,75·314=227 кДж/кг.
Вычислим энтальпию в точке 1: h1=u1+p1v1=227·103 + 2·105·0,45=317 кДж/кг.
Вычислим энтропию в точке 1: .
2–3 – изохорный процесс, т.к. показатель политропы n = ∞.
Запишем зависимость между параметрами р и Т: , где
p1 = 2 бар = 2 · 105 Па, Т2=524 К, Т3=573 К, тогда .
v3 = v2 = 0,13 м3/кг, т.к. процесс изохорный (v = const).
Вычислим внутреннюю энергию в точке 2: u2=cvT2=717,75·524=379 кДж/кг.
Вычислим энтальпию в точке 2: h2=u2+p2v2=379·103 +12·105·0,13=535 кДж/кг.
Вычислим энтропию в точке 2: .
3–4 – адиабатный процесс, так как показатель политропы n = k. Для воздуха как двухатомного газа k =1,4.
Запишем зависимость между параметрами газа в процессе: , где р3=13·105 Па, v2 = 0,13 м3/кг, р4 = 2·105 Па (так как процесс 4–1 – изобарный, то р4=р1=2·105 Па), k = 1,4, тогда: .
Вычислим внутреннюю энергию в точке 3: u3=cvT3=717,75·573=411 кДж/кг.
Вычислим энтальпию в точке 3: h3=u3+p3v3=411·103 +13·105·0,13=580 кДж/кг.
Вычислим энтропию в точке 3: .
4–1 – изобарный процесс, так как показатель политропы n = 0.
Запишем уравнение состояния идеального газа для точки 4: ,
где R0 – газовая постоянная, R0 = 287Дж/кг·К, тогда .
Вычислим внутреннюю энергию в точке 3: u4=cvT4=717,75·350=253 кДж/кг.
Вычислим энтальпию в точке 3: h4=u4+p4v4=253·103 + 2·105·0,5=353 кДж/кг.
Вычислим энтропию в точке 3: .
Таблица 8.1.1
Точки | p | v | T | u | h | s | |||||
Па | кгс/см2 | м3/кг | К | ºС | кДж/кг | ккал/кг | кДж/кг | ккал/кг | кДж/кг·К | ккал/кг·ºС | |
2·105 | 2,04 | 0,45 | 54,05 | 74,48 | –0,05 | –0,0119 | |||||
12·105 | 12,24 | 0,13 | 90,24 | 127,38 | –0,05 | –0,0119 | |||||
13·105 | 13,26 | 0,13 | 97,86 | 138,1 | 0,03 | 0,0071 | |||||
2·105 | 2,04 | 0,5 | 60,24 | 84,05 | 0,05 | 0,0119 |
2. Определим характеристики цикла, используя аналитические зависимости соответствующих процессов.
1–2 – адиабатное сжатие.
Вычислим изменение внутренней энергии: .
Вычислим изменение энтальпии: .
Вычислим изменение энтропии: ∆s = 0; s = const.
Вычислим теплоту: q1–2 = 0.
Вычислим работу: l = –∆u = –152 кДж/кг.
2–3 – изохорное нагревание.
Вычислим изменение внутренней энергии: .
Вычислим изменение энтальпии: .
Вычислим изменение энтропии: .
Вычислим теплоту: q1–2 = ∆u = .
Вычислим работу: l = 0.
3–4 – адиабатное расширение.
Вычислим изменение внутренней энергии: .
Вычислим изменение энтальпии: .
Вычислим изменение энтропии: ∆s = 0; s = const.
Вычислим теплоту: q3–4 = 0.
Вычислим работу: l = –∆u = –158 кДж/кг.
4–1 – изобарное сжатие.
Вычислим изменение внутренней энергии: .
Вычислим изменение энтальпии: .
Вычислим изменение энтропии: .
Вычислим теплоту: q4–1 = сp(T1 – T4)= .
Вычислим работу: =287,1·(314 – 350) = –10 .
Процесс | ∆u | ∆h | ∆s | q | l | |||||
кДж/кг | ккал/кг | кДж/кг | ккал/кг | кДж/кг·К | ккал/кг·ºС | кДж/кг | ккал/кг | кДж/кг | ккал/кг | |
1–2 | 36,19 | 50,71 | –152 | –36,19 | ||||||
2–3 | – 32 | –7,62 | 10,71 | 0,08 | 0,019 | 7,62 | ||||
3–4 | –158 | –37,62 | –226 | –53,81 | 37,62 | |||||
4–1 | 6,19 | 8,57 | –0,1 | –0,024 | –36,5 | –8,69 | –10 | –2,38 |
Таблица 8.1.2
3. Для цикла в целом определяем:
подведенное тепло ;
отведенное тепло ;
работу цикла .
4. Переносим цикл по результатам расчета в T,s- и p,v-координаты.
5. Определяем термический к.п.д. цикла. Сравниваем полученный к.п.д. с термическим к.п.д. цикла Карно, совершенного при тех же крайних температурах.
Термический к.п.д. данного цикла .
Термический к.п.д. цикла Карно .
Термический к.п.д. цикла Карно, совершаемого при тех же крайних температурах, что и данный цикл, на 31% выше. Для получения более высокого к.п.д. цикла необходимо увеличивать разность между крайними температурами.