Итак, мы разложили в ряд Фурье по системе тригонометрических функций. Но это частный случай систем, по которым можно разложить произвольные функции. Еще одной из таких систем являются многочлены Лежандра (полиномы).
, (n = 1,2, …) на отрезке
- это многочлены степени n.
при n = 0 = 1 ( – это отдельно, не входит в n = 1,2,.…).
n = 1 .
n = 2 = =
= = =
В общем случае
+ … = (38)
здесь не выписаны члены, содержащие
множитель , Покажем это.
Дифференцируя = по правилу Лейбница
= +
+ .
=
в данном случае n = m, т.е. n – n = 0, = 1.
Т.о., общем случае
Т.е. мы видим, что это полиномы вида:
Докажем ортогональность системы полиномов.
при m < n
достаточно посмотреть
= =
интегрируя m раз по частям
= -
Первое слагаемое равно 0 потому, что имеет числа +1 и -1 своими нулями.
Интегрируя по частям m раз, получим так же 0, и так до (n – m) члена
= = 0.
Получили нули во всех слагаемых.
Полученные равенства показывают, что система полиномов Лежандра – ортогональна на [-1, 1].
Теперь о норме.
По определению
|
|
=
||
обозначим
= , но
возьмем его по частям
но, поскольку , то
.
Тогда
.
Интеграл
= = =
интегрируя по частям, получим
= 0
= - = … =
= = … = =
= = .
= .
(39)
Тогда нормированные многочлены имеют вид
(n = 0, 1, 2 …).
Можно показать, что если провести процесс ортогонализации системы
…
на отрезке [-1, 1], то получим полную ортогональную и нормальную на [-1, 1] систему
…
К полиномам Лежандра применима общая теория ортогональных систем функций, т.е., в частности, наличие ортогональной системы функций позволяет разложить по ней произвольную функцию (в некоторый ряд Фурье)
,
Где вместо синусов и косинусов стоят полиномы Лежандра, причем области определения и должны быть одинаковы, т.е. можно образовать пространство функций (2-интегрируемости с квадратом) на интервале (a, b). Это тоже принципиально!.
Для нахождения коэффициентов надо
= = ,
откуда
= . (40)
коэффициенты ряда функции f по ортогональной системе функций (можно сказать, коэффициенты ряда Фурье).