Интеграл Фурье для чётных функций

1. Предположим, что и является чётной функцией. Очевидно, что и

(7)

(8)

2. Пусть и является нечётной функцией.

Тогда и

(9)

(10)

Если функция f определена на или , то целесообразно её доопределить на другой половине оси таким образом, чтобы она была чётной или нечётной. Тогда сможем использовать представленные формулы (7)-(10). В свою очередь эти формулы можно представить в другой симметричной форме. С этой целью обозначим

(11)

(12)

Тогда формулы (8) и (10) принимают вид

(13)

(14)

Функцию называют косинус-преобразованием Фурье функции f, а - синус-преобразованием Фурье.