5х + 9
Исследовать функцию у = и построить ее график.
Решение
1. Область определения данной функции – вся числовая ось, то есть интервал (-∞; +∞), так как выражение 5х + 9
f (x) =
в правой части аналитического задания функции имеет смысл при любом действительном х.
2. Как элементарная функция данная функция является непрерывной в каждой точке своей области определения, то есть в каждой точке числовой оси.
3. Найдем все асимптоты графика данной функции.
Вертикальных асимптот график данной функции у = f (x) не имеет, поскольку последняя непрерывна на всей числовой оси ([2], гл.8, § 7).
Для отыскания наклонной асимптоты при х→+∞ вычислим следующие два предела
k = lim y/x и b = lim (y – kx)
x→+∞ x→+∞
Если оба они существуют и конечны, то прямая у = kx + b является наклонной асимптотой при х→+∞ графика функции у = f (x) ([2], гл. 9, § 7).
Прежде чем обращаться к вычислению указанных пределов, напомним тождество *
Приступая к вычислению первого предела, разделим числитель и знаменатель дроби на х2, затем воспользуемся равенством (*) и основными свойствами предела:
|
|
5x + 9 5 9 5 9
+ +
y 5x + 9 x2 x x2 x x2 5 ∙ 0 + 9 ∙ 0
k = lim = lim = lim = lim = lim = = 0
x→+∞ x x→+∞ x√x2 + 3 x→+∞ x√x2 + 3 x→+∞ √x2 + 3 x→+∞ √1 + 3/x2 √ 1+ 3 ∙ 0
x2 x
Для вычисления второго предела разделим числитель и знаменатель дроби на х и, действуя далее аналогично тому, как и при вычислении первого предела, получим:
5x + 9
5x + 9 x 5 + 9/x 5 + 9 ∙ 0
b = lim (y – kx) = lim y = lim = lim = lim = = 5
x→+∞ x→+∞ x→+∞ √x2 + 3 x→+∞ √x2 + 3 x→+∞ √1 + 3/x2 √1 + 3 ∙ 0
x
Следовательно, прямая у = 5 является наклонной асимптотой графика данной функции при х→+∞ (поскольку угловой коэффициент k этой прямой равен нулю, то такую наклонную асимптоту называют также горизонтальной при х→+∞).
Для отыскания наклонной асимптоты при х→-∞ вычислим пределы
k1 = lim y/x и b1 = lim (y – kx)
х→+∞ х→+∞
Если оба они существуют и конечны, то прямая y = k1x + b1 является наклонной асимптотой при х→-∞.
Для вычисления этих пределов используем те же приемы, что и выше, учитывая только на сей раз, что . Теперь, в частности, для отрицательных значений аргумента имеем:
√х2 + 3 √х2 + 3 х2 + 3 3
= = -√ = - √ 1 +
х -√х х2 х2
и следовательно, k1 = 0, b1 = -5
то есть наклонной (горизонтальной) асимптотой при х→-∞ на сей раз является прямая у = -5. Изобразим пунктиром найденные асимптоты на предварительном чертеже (рисунок2):
Рисунок 2
4. Найдем точки пересечения графика данной функции с осями координат и установим участки ее знакопостоянства.
Для отыскания абсцисс точек пересечения графика с осью ОХ решим уравнение
|
|
5х + 9
= 0
Его единственным решением, очевидно, является х = -1,8. Причем, в силу положительности знаменателя при любом х ясно, что
f (x) > 0 при х > -1,8
f (x) < 0 при х < -1,8
Таким образом, точка А (-1,8; 0) является единственной точкой пересечения графика функции с осью ОХ, а для х из интервалов (-∞; -1,8) и (-1,8; +∞) соответствующие точки графика функции расположены, соответственно, ниже и выше оси абсцисс.
Точка пересечения графика функции у = f (x) с осью ОУ – это всегда точка (0; f(0)), если только нуль входит в область определения функции. В нашем случае такой точкой является
В (0; 9/√3), где 9/√3= 9√3/3 = 3√3 ≈ 5,20.
Полученные в результате исследования точки А и В изобразим на предварительном чертеже (рисунок 2)
5. Приступим теперь к отысканию точек экстремума данной функции и участков ее монотонности.
Вычислим сначала ее производную:
5√х2 + 3 – (5х + 9) х
√х2 + 3 5(х2 + 3) – х(5х + 9) 3(5 –3х)
у/ = = =
х2 + 3 (х2 + 3) √х2 + 3 (х2 + 3) ½
Решая уравнение у/ = 0, получим единственный корень производной: х = 5/3 ≈ 1,67
Таким образом, необходимое условие экстремума ([2], гл.8,§ 4) выполняется лишь в точке
х = 5/3. Эта точка разбивает ось абсцисс на два интервала (-∞; 5/3) и (5/3; +∞)
знакопостоянства производной. Для определения знака производной в каждом интервале (пользуясь ее непрерывностью) определим знак производной в одной какой-либо точке каждого интервала. Так как 15 -3
f/(0) = > 0 и f/(2) = < 0
√27 √343
то заключаем, что функция возрастает на интервале (-∞; 5/3) и убывает на интервале (5/3; +∞), и значит точка х = 5/3 является точкой максимума данной функции ([2], гл.8 § 4). Значение функции в этой точке (то есть максимум функции) равно
5 ∙ 5/3 + 9 52
f (5/3) = = = √52 ≈ 7.21
√(5/3)2 + 3 √52
Отметим на чертеже вершину С (5/3; √52) графика данной функции (рисунок 2).
6. Наконец, обратимся к исследованию данной функции на выпуклость, вогнутость и существование точек перегиба.
С этой целью найдем производную второго порядка данной функции:
-3(х2 + 3)3/2 – (5 – 3х) ∙ 3/2 ∙ (х2 + 3) ½ ∙ 2х 3(х2 + 3) ½ [-(х2 + 3) – х(5 – 3х)]
у/ = (у)/ = 3 ∙ = 3 ∙ =
(х2 + 3)3 (х2 + 3)3
9(2х2 – 5х – 3)
=
(х2 + 3)5/2
Решая затем уравнение у// = 0, эквивалентное квадратному уравнению 2х2 – 5х – 3 = 0, находим его корни: х1 = -0,5; х2 = 3, которые разбивают область определения функции на три интервала знакопостоянства второй производной: (-∞; -0,5), (-0,5; 3), (3; +∞). Для определения знака производной второго порядка в каждом из этих интервалов определим ее знак в какой-либо точке соответствующего интервала:
9 ∙ (2 + 5 - 3)
f//(-1) = = 9/8 > 0
√(1 + 3)5
9 ∙ (-3) 27 3
f//(0) = = - = - = -√3 < 0
√35 9√3 √3
9 ∙ (32 – 20 – 3) 81
f//(4) = = > 0
√195 192 √19
Из полученных неравенств вытекает, что график функции является выпуклым на интервале
(-0,5; 3) и вогнутым на интервалах (-∞; -0,5) и (3; +∞) ([2], гл.8 § 6), и значит точки
D (-0,5; f(-0.5)) и Е (3; f(3)), согласно определению ([2], гл.8 § 6), являются точками перегиба графика данной функции. Осталось найти ординаты этих точек:
-5/2 + 9 13
f (-0,5) = = = √13 ≈ 3,61
√1/4 + 3 √13
15 + 9 24 12
f (3) = = = = 4√3 ≈ 6,93
√9 + 3 2√3 √3
Точки D и E также отметим на рисунке 2.
Учитывая результаты полного исследования, соединим непрерывной кривой все ранее отмеченные точки предварительного чертежа так, чтобы эта кривая слева и справа неограниченно приближалась к асимптотам у = -5 и у = 5, соответственно (рисунок3)
Рисунок 3