Задача №2. Найти производную функции

Найти производную функции:

х⁷(1 – х)⁹ 1 + x√2 + x²

а) у =; в) у = ln;

1 + х 1 - x√2 + x²

x√2

б) y = ; г) y = arctg.

1 – x²

Решение:

а) Функция представляет собой частное двух функций. Ее производная по правилу дифференцирования частного ([2], гл. 7, § 3, формула 7.15) равна:

х⁷(1 – х)^{9 /} (х⁷(1 – х)⁹)^/ (1 + х) - х⁷(1 – х)⁹ (1 + х)^/

у^/ = =

1 + х (1 + х)²

Выражение х⁷(1 – х)⁹ есть произведение двух функций х⁷ и (1 – х)⁹ . Применяя правило дифференцирования произведения ([2], гл. 7, §3, формула 7.12), имеем:

(х⁷(1 – х)⁹)^/ = (х⁷) ∙ (1 – х)⁹ + х⁷ ∙ ((1 – х)⁹)^/

Производная (х⁷)^/ = 7х⁶ ([2], гл. 7, §3, формула 7.8). Функция (1 – х)⁹ есть сложная функция, поэтому ее производная ([2], гл. 7, §4, формула 7.16) равна:

((1 – х)⁹)^/ = 9(1 – х)⁸ (1 –х)^/ = 9(1 – х)⁸ ((1)^/ - (х)^/) = 9(1 – х)⁸ (0 – 1) = -9(1 – х)⁸

Производную функции (1 – х) нашли, используя формулы .

Аналогично, (1 + х)^/ = 0 + 1 = 1.

Собирая все результаты, получим:

(7х⁶(1 – х)⁹ – х⁷ 9(1 – х)⁸) (1 + х) – х⁷(1 – х)⁹ х⁶(1 – х)⁸ (7 – 10х – 15х²)

у = =

(1 + х)² (1 + х)²

б) Преобразуем нашу функцию

у =

Это сложная функция. Взяв за аргумент и = 1 + tg³5x и применяя последовательно формулы ([2], гл. 7, §3,4, формулы 7.20, 7.11), получим:

у^/ = ^/ = =

Снова, применяя формулу 7.16 (с аргументом и = tg 5x) и формулы 7.19, 7.30 ([2], гл. 7,

§ 3,4), имеем:

1 15 tg²5x

(tg³5x)^/ = 3 tg²5x (tg 5x)^/ = 3 tg²5x (5x)^/ =

cos²5x cos²5x

Окончательно получим:

15 tg²5x

у^/ =

2 ∙ cos²5x

в) Наша функция есть сложная логарифмическая, в которой аргументом является выра-

1 + х√2 + х²

жение и =. Применив формулу 7.16 ([2], гл. 7, §4), получим:

1 - х√2 + х²

1 + х√2 + х^{2 /} 1 1 + х√2 + х^{2 /}

у^/ = ln =

1 - х√2 + х² 1 + х√2 + х² 1 - х√2 + х²

1 - х√2 + х²

Далее нам нужно найти производную частного двух функций по формуле 7.15([2], гл. 7,

§ 3), имеем:

1 + х√2 + х^{2 /} (1 + х√2 + х²)^/ (1 - х√2 + х² ) – (1 + х√2 + х²)(1 - х√2 + х²)^/

= =

1 - х√2 + х² (1 - х√2 + х²)²

(√2 + 2х)(1 – х√2 + х²) – (1 + х√2 + х²)(√2 + 2х) 2√2 - 2√2х²

= =

(1 – х√2 + х²)² (1 – х√2 + х²)²

Окончательно получим:

1 – х√2 + х² 2√2 - 2√2х² 2√2 (1 – х²) 2√2 (1 – х²)

у^/ = ∙ = =

1 + х√2 + х² (1 – х√2 + х²)² (1 + х²)² – (х√2)² 1 + х⁴

х√2

г) По формуле 7.16 ([2], гл. 7, §4), приняв за аргумент выражение и =,

получим: 1 – х²

x√2 ^/ 1 x√2 ^/

у^/ = arctg =

1 – x² x√2 ² 1 – x²

1 +

1 – x²

Воспользовавшись формулой производной для частного двух функций и делая необходимые преобразования, получим:

1 (x√2)^/ (1 – х²) - x√2 (1 – х²)^/ (1 – х²)² √2 (1 – х²) - х√2 (-2х)

у^/ = ∙ = ∙ =

(x√2)² (1 – х²)² (1 – х²)² + 2х² (1 – х²)²

1 +

(1 – х²)²

√2 - √2х² + 2√2х² √2 (1 + х²)

= =

1 – 2х² + х⁴ + 2х² 1 + х⁴