Задача 3. Вычислить приближенное значение функции f (x) = ln в точке х1 = 0,023

23x + 8

Вычислить приближенное значение функции f (x) = ln в точке х₁ = 0,023,

7х + 8

заменив приращение функции в точке х₀ = 0 ее дифференциалом.

Решение

Если приращение аргумента ∆х = х₁ – х₀ достаточно мало по абсолютной величине, то приращение функции ∆f = f (x₁) – f (x₀) приближенно равно дифференциалу функции df. Поэтому справедлива формула 9.5 ([2], гл.9, §2)

f (x₀ + ∆x) ≈ f (x₀) + f ^/ (x₀) ∆x.

23x + 8

Для вычисления приближенного значения функции у = ln в точке х₁ = 0,023

7х + 8

вычислим производную этой функции в точке х₀ = 0:

23x + 8 ^/ 128

f ^/ (x) = ln =;

7х + 8 (23x + 8)(7x + 8)

f ^/ (x) = f ^/ (0) = 128 / 64 = 2

Подставив в формулу 9.2, получим:

f (0,023) ≈ ln 1 + 0,023 ∙ 2 = 0,046.