Критерий Фридмана (произвольные альтернативы)

Непараметрический критерий Фридмана для проверки гипотезы Н_о против альтернативы о наличии влияния фактора А используется в случае, если о распределении случайных величин ец, г = 1,..., п, j = 1,..., fc в модели (7.2) известно только то, что оно непрерывно, а сами величины eij независимы в совокупности. (То, что е^- одинаково распределены, было оговорено раньше.) Критерий основан на идее пе­рехода от значений величин хц в таблице двухфакторного анализа к их рангам. В отличие от однофакторного анализа, ранжирование происхо­дит не по всей совокупности величин хц, а поблочно, то есть рассма­тривается каждая отдельная строка таблицы 7.1 и при фиксированном индексе i осуществляется ранжирование величин Жу при j = 1,..., к. Тем самым устраняется влияние «мешающего» фактора В, значение которого для каждой строки таблицы постоянно.

Обозначим полученные ранги величин хц через гц. Ясно, что значе­ния nj изменяются от 1 до fc, а соответствующая строка рангов предста­вляет собой некоторую перестановку чисел 1,2,..., fc. Для простоты из­ложения будем предполагать, что среди элементов хц, стоящих в одной строке таблицы (7.1), нет совпадающих (в противном случае следует использовать средние ранги). При гипотезе Hq: т-\_ = т₂ = • • • = Tk = О каждая строка рангов Гц, rj2,..., r,fc будет представлять случайную пе­рестановку чисел от 1 до fc, причем все fc! перестановок равновероятны. Введем величину: r.j — ^(X^=i^r«j)' являющуюся средним значением рангов по столбцу j. При гипотезе Н_о в силу равновероятности всех перестановок рангов в каждой строке значение r.j для каждого j не должно сильно отличаться от величины г.. = (fc +1)/2, которая предста­вляет собой общий средний ранг всех элементов таблицы рангов. (Дей­ствительно, сумма рангов по всей таблице есть nfc(fc -f l)/2. Средний ранг получается делением на число пк элементов таблицы).

Здесь множитель, стоящий перед знаком суммы, добавлен для того, чтобы S имело простое асимптотическое распределение. В вычислитель­ном плане более удобна другая форма записи величины S, а именно:

(7.4)

Как отмечалось выше, при справедливости гипотезы Но величины (r.j — г..)² в выражении (7.3) с большой вероятностью сравнительно малы для всех j, и, следовательно, значение S сравнительно невелико.

А при нарушении Яо суммы рангов в одних столбцах будут тяготеть к превышению значения среднего ранга г.., а в других — к уменьшению этого значения, в зависимости от знака величины т,- ф 0. Это приводит к возрастанию статистики Фридмана S. Из этих соображений вытекает вид критерия Фридмана для проверки гипотезы Я_о: т\ = т₂ = • • • = T_fc = 0 против альтернативы наличия эффектов обработки.