Корреляционные функции

Под корреляцией понимают вероятностную зависимость между величинами, которая возникает тогда, когда одна из величин зависит не только от другой, но и от ряда случайных факторов, или когда среди условий, от которых зависят и та, и другая величины, имеются общие для них обоих условия.

Зависимости такого рода можно описать или при помощи корреляционных таблиц, или с помощью корреляционных функций. Под автокорреляционной функцией K(t₁,t₂) понимают взаимосвязь (т.е. корреляцию) значений и случайного процесса в моменты t₁ и t₂, определяемую равенством:

(48)

где - математическое ожидание процесса в моменты t_i ;

- одномерная и двумерная плотности распределения X(t).

Если K(t₁,t₂), сечения Х₁ и Х₂ не коррелированы. Для стационарных случайных процессов m₁=m₂=m, а корреляционная функция зависит только от t=t₁-t₂, т.е.

(49)

Часто используют нормированную корреляционную функцию r(t)=K(t)/K(0), где K(0)=D - дисперсия процесса, характеризующая рассеяние (разброс) корреляционной функции. Функция r(t) обладает следующими свойствами: r(t)=r(-t); r(0)=1; r(0)³|r(t)|, если m=0 и .

Интегральной характеристикой времени корреляции сечений процесса служит интервал корреляции

(50)

Если сечения отстоят друг от друга на расстояние, большее Dt, при расчетах их считают некоррелированными. Операцию определения корреляционных функций с помощью интегралов (48) и (49) называют усреднением по множеству (по ансамблю). Обозначим ее через M[·]. Например,(49) удобно сокращенно записывать так: K(t)=M[(X₁-m)(X₂-m)].

1. Интервал корреляции.

СП, как правило, обладают следующим свойством: их функция корреляции стремится к нулю с увеличением временного сдвига . Чем быстрее убывает функция R( ), тем меньшей оказывается статистическая связь между мгновенными значениями случайного сигнала в два несовпадающих момента времени.

Интервал корреляции – числовая характеристика, служащая для оценки «скорости изменения» реализаций случайного процесса. Определяется выражением:

Если известна информация о поведении какой-либо реализации «в прошлом», то возможен вероятностный прогноз случайного процесса на время порядка . Однако попытка прогнозирования на время, существенно превышающее интервал корреляции, окажется безрезультатной – мгновенные значения, сколь далеко отстоящие во времени, практически некоррелированы, т. е. среднее значение произведения x(t)x(t+ ) стремится к нулю

Теоре́ма Коте́льникова (в англоязычной литературе — теорема Найквиста — Шеннона или теорема отсчётов) гласит, что, если аналоговый сигнал имеет финитный (ограниченный по ширине) спектр, то он может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим дискретным отсчётам, взятым с частотой, строго большей удвоенной верхней частоты :