2015-04-12
1472
В 1933 году В.А. Котельниковым доказана теорема отсчетов [6, 32], имеющая важное значение в теории связи: непрерывный сигнал 
с ограниченным спектром можно точно восстановить (интерполировать) по его отсчетам 
, взятым через интервалы 
, где 
– верхняя частота спектра сигнала.
В соответствии с этой теоремой сигнал можно представить рядом Котельникова [6, 32]:
 . | (1.21) |
Таким образом, сигнал , можно абсолютно точно представить с помощью последовательности отсчетов 
, заданных в дискретных точках 
(рис.1.16).
Функции
 | (1.22) |
образуют ортогональный базис в пространстве сигналов, характеризующихся ограниченным спектром:
 при  . | (1.23) |
Обычно для реальных сигналов можно указать диапазон частот, в пределах которого сосредоточена основная часть его энергии и которым определяется ширина спектра сигнала. В ряде случаев спектр сознательно сокращают. Это обусловлено тем, что аппаратура и линия связи должны иметь минимальную полосу частот. Сокращение спектра выполняют, исходя из допустимых искажений сигнала. Например, при телефонной связи хорошая разборчивость речи и узнаваемость абонента обеспечиваются при передаче сигналов в полосе частот 
. Увеличение 
приводит к неоправданному усложнению аппаратуры и повышению затрат. Для передачи телевизионного изображения при стандарте в 625 строк полоса частот, занимаемая сигналом, составляет около 6 МГц.
Из вышесказанного следует, что процессы с ограниченными спектрами могут служить адекватными математическими моделями многих реальных сигналов.
Функция вида 
называется функцией отсчетов (рис.1.17).
Она характеризуется следующими свойствами. Если 
, функция отсчетов имеет максимальное значение при 
, а в моменты времени 
(
) она обращается в нуль; ширина главного лепестка функции отсчетов на нулевом уровне равна 
, поэтому минимальная длительность импульса, который может существовать на выходе линейной системы с полосой пропускания , равна ; функции отсчетов ортогональны на бесконечном интервале времени.
На основании теоремы Котельникова может быть предложен следующий способ дискретной передачи непрерывных сигналов:
Для передачи непрерывного сигнала по каналу связи с полосой пропускания определим мгновенные значения сигнала в дискретные моменты времени 
, (
). После этого передадим эти значения по каналу связи каким - либо из возможных способов и восстановим на приемной стороне переданные отсчеты. Для преобразования потока импульсных отсчетов в непрерывную функцию пропустим их через идеальный ФНЧ с граничной частотой .
Можно показать, что энергия сигнала находится по формуле [6, 32]:
 . | (1.24) |
Для сигнала, ограниченного во времени, выражение (1.24) преобразуется к виду:
 . | (1.25) |
Выражение (1.25) широко применяется в теории помехоустойчивого приема сигналов, но является приближенным, т.к. сигналы не могут быть одновременно ограничены по частоте и времени.
