Обсуждение выборочных ситуаций

Выборочную вариацию C_p ^ в (3) можно легко изучить, поскольку известно, как применить хи-квадрат распределение выборочной дисперсии (s²). Бурр (1976, pp. 336-341) выводит кривую оперативной характеристики (ОХ) для проверки стандартного отклонения, используя тот факт, что (N-l)s²/s ² имеет хи-квадрат распределение с (N-1) степенями свободы. По аналогии можно рассчитать кривую ОХ для проверки воспроизводимости процесса. Прежде всего следует отметить, что проверка гипотезы (s ₀>0)

эквивалентна проверке воспроизводимости процесса (c ₀>0)

(4)

При использовании критической области C_p^>с функция мощности критерия (4) получается непосредственно из хи-квадрат распределения выборочной дисперсии как:

(5)

где - случайная величина с распределением хи-квадрат и с (N- 1) степенями свободы. Удобно брать функцию мощности для C_p, а не соответствующую функцию мощности для s, так как тогда не надо вводить поправку на различия в допусках процесса и “нормализованную” воспроизводимость процесса можно изучать непосредственно.

Пользуясь формулой (5), можно вычислить кривую ОХ (C_p)=1-p (C_p) и использовать ее для сравнения вариантов проверки. Кривая ОХ позволяет понять порочность практики, когда пренебрегают оценкой вариации выборки s ^ при оценивании воспроизводимости процесса. Пусть мы хотим выяснить, воспроизводим ли процесс на уровне C_o =1,33 (то есть H₀: C_p? 1,33) при N =30 изделиям, а предел браковки (критическое значение) c= 1,33. Кривая ОХ (а) на рис. 4 показывает, что ОХ (1,33)=0,40, а это значит, что вероятность ложного суждения о процессе как о невоспроизводимом (принятие гипотезы H ₀) равна 40%. Истинная воспроизводимость процесса должна быть C_p =1,6 чтобы оставалось всего 5% шансов для причисления процесса к невоспроизводимым при критическом значении С =1,33.

Рис.4. Кривая оперативной характеристики для плана выборки, который отбрасывает гипотезу о воспроизводимости процесса, если Ср<c, где а) N=30, c=1.33 и б) N=70, c=1.46

Отбор разумного критического значения при проверке воспроизводимости требует назначения для значений С_p приемлемого уровня качества (AQL, ПУК) и неприемлемого уровня качества (RQL, НУК) (см. Бурр [1976, pp. 336-341]). Приемлемый уровень качества - это достаточно высокая воспроизводимость процесса, так что мы будем принимать процесс с воспроизводимостью выше, чем ПУК. НУК - это достаточно низкая воспроизводимость, так что мы отбросим процессы с воспроизводимостью ниже, чем НУК. Итак,

ПУК= C_p (высокая)> C_p (низкая)=НУК.

Исходя из формулы (5) a и b риски будут:

Решая относительно C_p (высокая)/ C_p (низкая) и с получим:

где - Хи (100-ый процентиль хи-квадрат распределения с (N -1) степенями свободы. В табл. 1 сведены значения для C_p (высокая)/ C_p (низкая) и c/C_p (низкая) при разных объемах выборки и a =b равных 0,10 и 0,05. Критическое значение c и объем выборки N можно определить для любых конкретных значений C_p (высокой) и C_p (низкой). Например, если a =b =0,05, C_p (высокая)=1,6 и C_p (низкая)=1,2, то C_p (высокая)/ C_p (низкая)=1,33, и из табл. 1: N =70 и c =(1,14) C_p (низкая)=1,37. Таким образом, беря критическое значение 1,37 и объем выборки 70, получаем вероятность 5% того, что процесс с C_p выше 1,6 будет признан невоспроизводимым (принята H ₀), и что процесс с C_p ниже 1,2 будет признан воспроизводимым (отброшена H ₀).

Чтобы гарантировать, что любой процесс с C_p ниже 1,33 (где ВГД-НГД=8s) имеет высокую вероятность быть признанным невоспроизводимым (а = 0,1), а процесс с Ср выше 1,66 (где ВГД-НГД=10s) имеет высокую вероятность быть признанным воспроизводимым (?=0,1), надо иметь C_p (высокая)/ C_p (низкая)=1,25, и из табл. 1: N =70 и c / C_p (низкая)=1,10, что дает c =1,46. Кривая ОХ для такого рода плана выборки - кривая (б) на рис. 4.

Этот пример показывает, что практика использования N =30, имевшая место в прошлом в автомобильной промышленности для сертификации станков, в целом неадекватна. А практика использования минимального значения c =1,33, принятая в настоящее время, может характеризовать невыборочные проблемы, которые делают сертификационные испытания отличными от производства, но минимальное значение 1,33 не может адекватно учесть выборочную изменчивость. Возможно потребуются большее N и большее минимальное значение C_p. Шарбонно и Бебстер (1978, р. 112) предлагают для нового оборудования показатель воспроизводимости 1,5, не устанавливая, однако, объема выборки.