Декартова система координат в пространстве

Введем в пространстве E³ дополнительную структуру (°):

1) Зафиксируем произвольную точку O Î E³;

2) Зафиксируем упорядоченную тройку взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке O.

3) На каждой из трех фиксированных прямых выберем один из двух лучей, на которые точка O разделила эту прямую, и назовем его положительным лучом.

На каждой из фиксированных прямых определена декартова система координат с началом координат в точке O, то есть для каждой точки лежащей на первой, на второй или на третьей прямой однозначно определено число по правилу, описанному в пункте 1.1.

Обозначим декартову систему координат на первой прямой w_x, декартову систему координат на второй прямой w_y, декартову систему координат на третьей прямой w_z.

Итак, мы зафиксировали упорядоченный набор (O,x₊,y₊,z₊).

Определим отображение w: E³ ® R³ по следующей формуле:

w(A) = (x,y,z), где x = w_x(A_x), A_x - проекция точки A на первую прямую,

y = w_y(A_y), A_y - проекция точки A на вторую прямую,

z = w_z(A_z), A_z - проекция точки A на вторую прямую (°°).

РИС. 3

Определение. Отображение w (°°) будем назвать декартовой системой координат в пространстве.

Определение. Упорядоченную тройку чисел (x, y, z) Î R³ такую, что w(A) = (x, y, z) будем назвать координатами точки A в системе координат w.

Определение. Фиксированную точку O будем называть началом координат.

Определение. Три фиксированные прямые в данной структуре будем называть координатными осями. Первую прямую в данной фиксированной структуре будем назвать осью (Ox) или осью абсцисс, вторую прямую - осью (Oy) или осью ординат, третью прямую - осью (Oz) или осью аппликат.

Первую координату точки будем назвать абсциссой точки, вторую координату точки будем назвать ординатой точки, третью координату - аппликатой точки.

Плоскости, проходящие через координатные оси, будем называть координатными плоскостями.

Замечание. Иногда декартовой системой координат называют фиксированную на плоскости структуру (°).

Теорема. Декартова система координат на плоскости - это биективное отображение.

Доказательство (самостоятельно).

Замечание. Так как w - это биективное отображение, то оно обратимо, то есть для каждой тройки действительных чисел существует ровно одна точка пространства, для которой эти числа являются координатами.

Обозначение: вместо записи w(A) = (x, y, z) мы будем употреблять более распространенную запись A(x, y, z).