Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, обозначаемое

Рассмотрим определители для матриц первого, второго и третьего порядков:

а) Пусть А= (а11), тогда (1)

Из формулы (1) следует, что определитель для матрицы первого порядка совпадает с элементом матрицы

б) Пусть ,тогда (2)

Из формулы (2) следует, что определитель для матрицы второго порядка равен разности произведений элементов матрицы, стоящих на главной и побочной диагоналях.

в.) Пусть , тогда (3)

Формулу (3) запомнить значительно труднее, чем (1) и (2), но это и не требуется, так как существуют различные правила,позволяющие легко подсчитать те шесть слагаемых, из которых состоит определитель для матрицы третьего порядка.

Например, можно использовать «правило треугольников», которое условно показано на схемах 1 и 2.

схема 1 схема 2

Первые три слагаемые, входящие в формулу (3) со своим знаком, подсчитываются в соответствии со схемой 1, а следующие три слагаемые, входящие с противоположным знаком, подсчитываются по схеме 2.

10) Алгебраическим дополнением элемента а_ij квадратной матрицы называется число А_ij,вычисляемое по формуле:

где M_ij -определитель полученный из определителя матрицы удалением строки с номером i и столбца с номером j.

11)Обратная матрица

Матрица А^-1 называется обратной к матрице А, если

,где Е - единичная матрица. Из определения следует, что матрицы А и А^-1 - квадратные матрицы одного порядка. Квадратная матрица имеет обратную, если ее определитель отличен от нуля и , где А_ij -алгебраические дополнения элемента а_ij матрицы .

12) Решение простейших алгебраических уравнений

а) , где А и В - заданные матрицы, причем А - квадратная матрица, определитель которой .Тогда .

б) , где А и В - заданные матрицы, причем А - квадратная матрица, определитель которой .Тогда

Примеры:

1) Выполнить действия: , где

Решение: (по п. 6)

(по п.7)

(по п.8)

2) Найти А^-1,если

Решение:

Проверим, верно ли нашли А^-1 . Для этого умножим А на А^-1 и убедимся, что получим единичную матрицу.