Лабораторная работа № 3

ИССЛЕДОВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК

ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЗВЕНЬЕВ

Цель. Для звеньев, заданных передаточными функциями, выбираемыми из табл. 2.1 (см. приложение), параметры звеньев выбираются из табл. 2.2 (см. приложение) в зависимости от варианта, построить частотные характеристики при различных постоянных времени и коэффициента усиления с нулевыми начальными условиями: задав значения коэффициентов пропорциональности k и постоянных времени T; изменив значение k с прежним T; изменив значение T с первоначальным k.

Теоретическая часть

В условиях реальной эксплуатации САР часто возникает необходимость определить реакцию на периодические сигналы, т.е. определить сигнал на выходе САР, если на один из входов подается периодически сигнал гармонической формы. Решение этой задачи возможно получить путем использования частотных характеристик. Различия между параметрами входных и выходных гармонических сигналов не зависят от амплитуды и фазы входного сигнала, а определяется только динамическими свойствами самого объекта и частотой колебаний. Поэтому в качестве динамических характеристик объекта используют частотные характеристики: амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – А (w); фазо-частотная характеристика (ФЧХ) – j (w) и амплитудно-фазо-частотная характеристика (АФЧХ) – W (jw).

Если задана передаточная функция W (p), то путём подставки p = jw получаем частотную передаточную функцию W (jw), которая является комплексным выражением т.е. , где Re (w) – вещественная составляющая, а Im (w) – мнимая составляющая. Частотная передаточная функция может быть представлена в показательной форме:

или ,

где – модуль; – аргумент; – действительная часть; – мнимая часть частотной передаточной функции W (jw) рис. 3.1.

Таким образом, для определенной частоты имеем вектор на комплексной плоскости, который характеризуется модулем A и аргументом j. Модуль представляет собой численное отношение амплитуды выходного гармонического сигнала к амплитуде входного. Аргумент представляет собой сдвиг по фазе выходного сигнала по отношению к входному. При этом отрицательный фазовый сдвиг представляется вращением вектора на комплексной плоскости по часовой стрелке относительно вещественной положительной оси, а положительный фазовый сдвиг представляется вращением против часовой стрелки.

Алгоритм построения частотных характеристик

1. Получить выражение для передаточной функции исследуемого объекта.

2. В передаточной функции заменить р на jw.

3. Освободиться от старших степеней j, используя следующие правила:

j = j; j ² = –1; j ³ = j ²× j = – j; j ⁴ = 1; j ⁵ = j ⁴× j = j и т.д.

4. В знаменателе передаточной функции сгруппировать члены содержащие и не содержащие j.

5. Освободиться от иррациональности в знаменателе. Для этого числитель и знаменатель домножить на выражение, сопряженное выражению в знаменателе относительно j.

6. В числителе передаточной функции сгруппировать члены содержащие и не содержащие j.

7. Выделить Re (w) и Im (w).

8. Рассчитать все частотные характеристики и построить их графики.

Алгоритм выполнения работы

1. Записать передаточную функцию исследуемого звена с нулевыми начальными условиями.

2. Выделить действительную и мнимую части.

3. Построить амплитудно-частотную характеристику звена.

4. Построить фазово-частотную характеристику звена.

5. Построить амплитудно-фазо-частотную характеристику звена.

6. Аналогичным образом проанализировать второе звено.

Пример расчета

Для звеньев, заданных передаточными функциями

, ,

построить частотные характеристики при различных значениях постоянных времени и коэффициента усиления.

Решение

Пример 1. Рассмотрим реальное дифференцирующее звено.

1. Передаточная функция реального дифференцирующего звена: , откуда – амплитудно-фазо-частотная характеристика.

2. Освобождаемся от иррациональности в знаменателе. Для этого числитель и знаменатель домножаем на , получим:

откуда . Получили: , .

3. Подставляя значения k = 2, T = 3, строим амплитудно-фазо-частотную характеристику при w, изменяющемся от 0 до ¥, рис. 3.2.

4. Амплитудная частотная характеристика:

5. Задаваясь значениями w из интервала от 0 до 6, с шагом 0,1, строим амплитудо-частотную характеристику, рис. 3.3.

6. Фазовая частотная характеристика имеет вид:

7. Задаваясь значениями w из интервала от 0 до 6, с шагом 0,1, строим фазово-частотную характеристику, рис. 3.4.

8. Изменяя значение k = 4, при прежнем T = 3, строим амплитудно-фазо-частотную характеристику при w, изменяющемся от 0 до ¥, рис. 3.2.

9. Амплитудная частотная характеристика при w от 0 до 6, с шагом 0,1, рис. 3.3.

10. Так как фазовая частотная характеристика имеет вид: , т.е. не зависит от коэффициента усиления, то фазово-частотная характеристика не изменится, см. рис. 3.4.

11. Изменяя значение T = 1, при первоначальном, k = 2 строим амплитудно-фазо-частотную характеристику при w, изменяющемся от 0 до ¥, см. рис. 3.2.

Рис. 3.2. Амплитудно-фазо-частотные характеристики

реального дифференцирующего звена

12. Амплитудная частотная характеристика при w от 0 до 6, с шагом 0,1, см. рис. 3.3.

Рис. 3.3. Амплитудно-частотные характеристики

реального дифференцирующего звена

13. Фазово-частотная характеристика при w от 0 до 6, с шагом 0,1, см. рис. 3.4.

Рис. 3.4. Фазово-частотные характеристики реального дифференцирующего звена

Пример 2. Рассмотрим апериодическое звено второго порядка.

1. Передаточная функция апериодического звена второго порядка: , откуда – амплитудно-фазо-частотная характеристика.

2. Освобождаемся от иррациональности в знаменателе. Для этого числитель и знаменатель домножаем на , получим:

откуда .

Получили:

, .

3. Подставляя значения k = 2, T ₁ = 3, T ₂ = 5, строим амплитудно-фазо-частотную характеристику при w, изменяющемся от 0 до ¥, рис. 3.5.

4. Амплитудная частотная характеристика:

5. Задаваясь значениями w из интервала от 0 до 7, с шагом 0,1, строим амплитудно-частотную характеристику, рис. 3.6.

6. Фазовая частотная характеристика имеет вид:

Рис. 3.5. Амплитудно-фазо-частотные характеристики

апериодического звена второго порядка

7. Задаваясь значениями w из интервала от 0 до 7, с шагом 0,1, строим фазово-частотную характеристику, рис. 3.7.

Изменяя значение k = 4, при прежнем T ₁ = 3, T ₂ = 5, строим амплитудно-фазо-частотную характеристику при w, изменяющемся от 0 до ¥, см. рис. 3.5.

8. Амплитудно-частотная характеристика при w от 0 до 7, с шагом 0,1, см. рис. 3.6.

9. Так как фазовая частотная характеристика имеет вид:

т.е. не зависит от коэффициента усиления, то фазово-частотная характеристика не изменится, см. рис. 3.7.

10. Изменяя значения T ₁ = 1, T ₂ = 2, при первоначальном, k = 2 строим амплитудно-фазо-частотную характеристику при w, изменяющемся от 0 до ¥, см. рис. 3.5.

11. Амплитудная частотная характеристика при w от 0 до 7, с шагом 0,1, см. рис. 3.6.