Логическое следствие

Формула X алгебры высказываний называется логическим следствием формул X ₁, X ₂,..., X_n, если импликация X ₁Ù X ₂Ù...Ù X_n ® X является тавтологией. В этом случае говорят, что из X ₁, X ₂,..., X_n следует X и этот факт записывают в виде .

Рассуждения называются правильными, если из конъюнкции посылок следует заключение. Для определения правильности рассуждений по схеме требуется установить тождественную истинность формулы

X ₁, X ₂,..., X_n ® X.

Распространенными схемами правильных рассуждений являются следующие:

– условно-категорический силлогизм;

– гипотетический силлогизм.

Проверка правильности рассуждений или проверка того, что данная формула X является логическим следствием формул X ₁, X ₂,..., X_n осуществляется по следующему алгоритму.

Шаг 1. Образовать конъюнкцию посылок X ₁, X ₂, …, X_n.

Шаг 2. Составить импликацию X ₁Ù X ₂Ù...Ù X_n ® X.

Шаг 3. Полученную формулу исследовать на тождественную истинность: если она является тождественно истинной, то X является логическим следствием формул X ₁, X ₂,..., X_n, иначе – не является.

Пример. Если два числа равны, то, как известно, их модули равны. Данные числа не равны. Можно ли из этого заключить, что их модули не равны?

Рассмотрим следующие элементарные высказывания: X = «Два числа равны», Y = «Модули чисел равны». Тогда высказыванию «Если два числа равны, то, как известно, их модули равны» соответствует формула X ® Y, высказыванию «Данные числа не равны» – , высказыванию «Модули чисел не равны» – . Заметим, что вопрос задачи сводится к проверке правильности рассуждений, то есть является ли логическим следствием посылок и X ® Y: .

Составив таблицу истинности формулы (X®Y)Ù ®` , можно увидеть, что она не является тождественно истинной, следовательно, рассуждения не являются правильными, и утверждение «Модули чисел не равны» не верно.

С помощью СКНФ можно решить более общую задачу построения всех логических следствий из данных посылок.

Алгоритм определения всех логических

следствий из данных посылок

Шаг 1. Образовать конъюнкцию всех посылок X ₁, X ₂,..., X_n.

Шаг 2. Полученную конъюнкцию привести к СКНФ.

Шаг 3. Множество всех формул, равносильных следствиям из данных посылок, образуют произведения сомножителей СКНФ, взятых по одному, по два и так далее.

Пример. Найти все следствия из посылок `XÚY и`XÙYÚX ÙY.

Образуем конъюнкцию посылок и найдем ее СКНФ.

(`X Ú`Y)Ù(`X Ù Y Ú X Ù`Y)º(`X Ú`Y)Ù(X Ú Y)Ù(`X Ú`Y)º

º(`X Ú`Y)Ù(X Ú Y) – СКНФ. Тогда следствиями являются `XÚY; X Ú Y; (`X Ú`Y)Ù(X Ú Y).

СКНФ позволяет решить и обратную задачу: для данной формулы найти все посылки, логическим следствием которых она является.

Алгоритм определения всех посылок, логическим следствием которых является данная формула

Шаг 1. Данную формулу привести к СКНФ.

Шаг 2. Составить ее произведения с каждым из недостающих до соответствующей полной СКНФ множителей – по одному, по два и так далее (под полной понимается СКНФ тождественно ложной формулы с теми же переменными).

Пример. Следствием каких посылок является импликация X ® Y?

Для импликации X ® Y СКНФ имеет вид . Соответствующая полная СКНФ имеет вид